Linjär algbra: notationen för en ekvivalensklass av x

Jag skulle definitivt förstå vad du menade om du använde en sådan notation. Men tänk på att ekvivalensklasser inte nödvändigtvis handlar om kvotrum eller ens vektorer. Lite generellt kan man säga att

$[x]=\{y\in V \,|\, y\sim x\}$

Dvs x är en representant för ekvivalensklassen under ekvivalensrelationen $\sim$ på mängden $V$. Det viktiga här är ekvivalensrelationen och mängden.

Därför kan det vara bättre att definiera ekvivalensrelationen (och mängden) du använder här separat, $x\sim y\iff x-y\in W$ och kalla den något spännande, tex $\equiv$

Då är

$[x]=\{y\in V\,|\, y\equiv x\}$

Sedan kan du lägga på ett index så här $[x]_{\equiv}$

I just det här fallet är alla vektorer $[x]$ sådana att $\{x+w\,|\,w\in W\}$ och därför använder man ibland skrivsättet $[x]=x+W$, där x alltså är en vektor och W är ett underrum.

Ah... okej jag förstår. Men är det inte lite konstigt om hela boken är en linjär algebra bok? Då är det ju underrum och kvoter (av vektorrum) som vi talar om. Det kanske bli osmidigt eftersom $[x]_?$ också betyder att en vektor är uttryckt i nån bas.

I en annan lärobok (detta är Lorenzo Sadun, den andra Sheldon axler) så använder de mycket skrivsättet x+W, mycket tydligare (men osmidigare). 

Och en annan fråga: med att x "representerar" klassen menar du alltså att x inte på nåt sätt är unik i ekvivalensklassen eftersom alla element även är ekvivalenta med varandra pga transitivitet?

Notationen $[x]_{E}$ där $E$ är en ekvivalensrelation är en etablerad beteckning från mängdläran. Men som du noterar krockar det med notationen i linjär algebra. Matematisk notation handlar nästan alltid om kompromisser och varje utövare utvecklar sin egen "dialekt".

Och ja,  vilket element som helst som ingår i klassen duger som representant för klassen, de är ju alla "lika" vilket, som du påpekar, följer av att ekvivalensrelationen är symmetrisk och transitiv. Dvs

$xEy$  om och endast om $[x]_E=[y]_E$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Systemet av alla ekvivalensklasser modulo $E$ tecknas $V/E$ och

$V/E=\{[x]_E\,|\,x\in V\}$

Jämför med notationen i linjär algebra där den bok som använder $x+W$ förmodligen skriver ungefär så här

$\frac{V}{W}=\{\mathbf{x}+W\,|\,\mathbf{x}\in V\}$

Mmm, men är stora E verkligen normalt att använda?

Beror på sammanhang. Säkert är $\sim$ och $R$ vanligare. Det viktiga här är inte vilken bokstav du väljer :)

Jaha, jag tycker det låter konstigt med bokstäver överhuvudtaget, jag trodde att man använde olika variationer på likhetsecknet

Ja, som jag påpekade ovan är $\equiv$ särskilt lämpligt när man arbetar med linjär algebra eftersom man då kan skriva saker som

$\mathbf{x}\equiv \mathbf{y}\iff \mathbf{x}-\mathbf{y}\in W$

Och vi säger att vektorerna är kongruenta modulo $W$

Tyvärr är $\equiv$ och $\approx$ ofta upptagna redan när man arbetar med mängdteori och man får acceptera lite bokstäver här och där :)

≈? Närdå?