linjär algebra

Definiera en avbildning $T_{\mathrm{\pi }}$ enligt

$T_{\mathrm{\pi }}:\hspace{0.17em}{P}_m\to \mathrm{ℝ}, p\mapsto p\left(\mathrm{\pi }\right).$

Visa att $T_{\mathrm{\pi }}$ är linjär!

Då gäller det att (känd formel)

dimP_m = dim(N($T_{\mathrm{\pi }}$)) + rank($T_{\mathrm{\pi }}$).

Visa att rank($T_{\mathrm{\pi }}$) = 1!

Således har vi att dim(N($T_{\mathrm{\pi }}$)) = dimP_m - 1 = m + 1 - 1 = m.

Enligt uppgiften så gäller det att pi$\in$N($T_{\mathrm{\pi }}$), i = 0, 1, 2, ..., m.

Nu tror jag du klarar resten själv.

hej, igen 

så detta betyder att vi ska använde dimensionssatsen, men hur visar vi att rank(Tπ) = 1. 

Låt oss säga att du har en linjär avbildning A från ett vektorrum V över $\mathrm{ℝ}$ till $\mathrm{ℝ}$. A: V$\to$$\mathrm{ℝ}$. Låt oss också anta att A $\ne$0.

Då A $\ne$0, så är A surjektiv (på). Visa detta!

Eftersom A är surjektiv, så gäller det att A(V) = $\mathrm{ℝ}$. Så att rank(A) = dim(A(V)) = dim($\mathrm{ℝ}$) = 1.

Tillämpa nu lärdomarna ovan på avbildningen $T_{\mathrm{\pi }}$. Du behöver bara visa att $T_{\mathrm{\pi }}\ne 0$.