Linjär Algebra: Avbildningsmatris för F i ON-bas

Hej!

Jag har försökt lösa en uppgift utan någon framgång och behöver hjälp med att förstå hur de kommit fram till svaret.

Följande uppgift har jag försökt lösa:

Jag har lyckats att ange egenvektorer samt normera dessa egenvektorer för att få ON-baserna. Detta har jag gjort på följande sätt:

Svar är enligt facit följande:

Min fråga är alltså såhär: Hur bestämmer jag avbildningsmatrisen A? Jag har letat både i boken och i nätet men kommer ingenvart. Jag ber i förhand ursäkt för att jag skrivit lite slarvigt.

Med vänlig hälsning

Shorbaw

Rent generellt så definierar följande samband matrisen A relativt en ordnad bas B = $\{{\vec{b}}_{1}, {\vec{b}}_{2}, {\vec{b}}_{3}\}$ för avbildningen F

$F ({\vec{b}}_{i}) = \sum_{k = 1}^{3} A_{k i} {\vec{b}}_{k}$ , i = 1, 2, 3.

Uttryckt annorlunda så gäller det att A:s i:te kolumn är lika med koordinaterna relativt basen B för vektorn $F ({\vec{b}}_{i})$ .

Om basen B består av egenvektorer blir det extra enkelt.

Kolonnerna i en avbildningsmatris är bilderna av basvektorerna F(b1), F(b2), F(b3). Du har kommit farm till följande F(b1)=1*b1, F(b2)=2*b2, F(b3)=0*b3=0
Om egenvektorerna är sin egen bas så gäller: b1=(1,0,0), b2=(0,1,0), b3=(0,0,1). Då följer det att Fs kolonner är:

f1= 1 0 0
f2= 0 2 0
f3 = 0 0 0

Hej!

Tack för svar!

Jag tror jag är dig lite på spåret, men jag förstår inte helt riktigt. Rent praktiskt i mitt exempel, innebär det då att jag för in mina egenvektorer i F(x1 + x3, x2, x1 +x3) för att sedan multiplicera den nya matrisen med den originella avbildningsmatrisen? Om du förstår vad jag menar?

//Shorbaw

Säg att du har en avildningsmatris A. Antag att man bytar bas till b1,b2,b3. Vet du hur man tar farm A:s utseende i basen b1,b2,b3 ?

Shorbaw skrev:
Hej!

Tack för svar! S i

Jag tror jag är dig lite på spåret, men jag förstår inte helt riktigt. Rent praktiskt i mitt exempel, innebär det då att jag för in mina egenvektorer i F(x1 + x3, x2, x1 +x3) för att sedan multiplicera den nya matrisen med den originella avbildningsmatrisen? Om du förstår vad jag menar?

//Shorbaw

I ett allmänt problem så skulle man göra på det sättet. Men nu vet vi att våra basvektorer är egenvektorer. Låt $λ_{i}$ vara egenvärdet tillhörande egenvektorn ${\vec{b}}_{i}$ . Vi har då att

F( ${\vec{b}}_{i}$ ) = $λ_{i} {\vec{b}}_{i}$ = $\sum_{k = 1}^{3}$ $A_{k i}$ ${\vec{b}}_{k}$ . Vilket, efter lite eftertanke, ger att A_ki = $λ_{i}$ om k = i och A_ki = 0 om k $\neq$ i. Så A blir i detta fall en diagonalmatris med egenvärdena längs matrisens huvuddiagonal.

Tack för svaren @PATENTERAMERA och @oneplusone2. Det var till stor hjälp!

//Shorbaw

Svara

Visa senaste svar