Linjär algebra - avstånd punkt och linje origo

Hej!

Jag har hittat en gammal tentafråga som jag undrar hur man löser.

Fråga:

Låt L vara linjen som ges av (x,y,z) = (-1+t,2,2t).

Vilken punkt P på linjen är närmast origo? Bestäm även avståndet från P till origo.

I lösningen står det så här:

L har riktningsvektorn v=(1,0,2)

Eftersom P ligger på L finns ett tal så att P= (-1+p,2,2p)

Så här långt förstår jag.

Men sen kommer detta:

Att P ligger närmast origo är ekvivalent med att 0 = v*OP = (-1+p)+0+2(2p) = 5p-1

Den ekvationen förstår jag inte. Hur kom man fram till den slutsatsen?

Det kommer sig av att avståndet minimeras när vektorn mellan origo och punkten är vinkelrät mot linjen. Det ger att $v_{L} \cdot O P = 0$ , och insättning ger $(1, 0, 2) \cdot (- 1 + p, 2, 2 p) = 0$ . Förenkling ger ekvationen i facit. :)

Det är en klassisk skalärprodukt (http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv206/0708/3fant.pdf) och vektorerna är vinkelräta, vilket innebär att den mellanliggande vinkeln $\alpha=90^{\circ} \Rightarrow$

$\cos α = 0$

Aha, då förstår jag det.

Men sedan när de fortsätter i lösningen skriver de så här:

Man får alltså att p=1/5.

Det är jag med på.

Men sen ska man ju räkna ut avståndet och då skriver de att de får :

(-4/5 , 2, 4/5) , dessa tar man ju sedan i kvadrat och sedan roten ur:

$\sqrt{(- 4 / 5)^{2}} + 2^{2} + (4 / 5)^{2}$ (roten ur ska täcka hela)

Men nu förstår jag inte.

Hur kommer man fram till detta?

Jag tänker att när man räknat ut p (1/5) , så sätter man in det i den ursprungliga ekvationen:

(x,y,z) = (-1+t,2,2t)

Då får jag att

x= -4/5

y = 2

z = 2/5 inte 4/5?

Vart tänker jag fel?

Annars har du att avståndet i kvadrat från linjen till origo är

D(t) = (t - 1)^2 + 4 + 4t^2 = 5t^2 - 2t +5 = 5(t^2 - 2t/5 + 1) = 5((t - 1/5)^2 + 24/25)

Svara

Visa senaste svar