1 svar
321 visningar
Bababoi132 behöver inte mer hjälp
Bababoi132 23
Postad: 18 dec 2023 11:19 Redigerad: 18 dec 2023 12:47

Linjär algebra. Bestäm den punkt på ett plan som ligger närmast en annan.

Vilken punkt på planet 3x+2y+12z=5 ligger närmast punkten (4,5,9)?

Tror jag löste den genom att använda partiella derivator som visat nedan

3x+2y+12z=5 ⇔ x=5/3-2/3y-12/3z

sätt

x=5/3-2/3t-12/3s

y=t                                                   s,t ∈ ℝ

z=s

Skriv som vektor

(x,y,z)= (5/3-2/3t-12/3s,t,s), s,t ∈ ℝ

Avståndet mellan punkterna är då |(5/3-2/3t-12/3s,t,s)-(4,5,9)|

Detta avstånd som funktion av s och t ges då av

f(t,s)=(((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2), s,t ∈ ℝ

För vilka värden på s och t antar f sitt minimum? Det ska då finnas värden på s och så att ∂f/∂s=0 och ∂f/∂t=0, dvs ekvationssystemet

∂/∂s (((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2) = 0

∂/∂t (((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2) = 0

Satte in i wolframalpha då det tar för lång tid att lösa för hand men svaret blev

s=-87/157 och t=535/157

insättning i funktionen ger minimunavståndet:

f(535/157,-87/157)=125/(157)^0.5

Satte också in f(t,s) i wolframalpha för att säkerställa att det var ett globalt minimum annars kan man använda funktionen nedan som jag hittade online för att avgöra karaktären av en stationär punkt:

G(t,s)=(∂^2f/∂t^2)(∂^2f/∂s^2)-(∂^2f/∂t∂s)

där om G(535/157,-87/157) > 0 och om ∂^2f(535/157,-87/157)/∂t^2 > 0 så är det ett globalt minimum.

Finns det något bättre sätt att lösa det på givet att lösningen är korrekt?

AlvinB 4014
Postad: 18 dec 2023 15:28 Redigerad: 18 dec 2023 15:31

Det ser ut att stämma, men är kanske lite krångligare än det sedvanliga tillvägagångssättet. Ditt sätt fungerar dock även om vi hade haft en krökt yta istället för ett plan.

I en linjär algebra-kurs brukar man resonera ungefär så här:

Låt A=(4,5,9)A=(4,5,9). Välj en punkt BB som vi vet ligger i planet, säg B=(0,0,512)B=(0,0,\frac{5}{12}) och beräkna vektorn rBA=A-B\mathbf{r}_{BA}=A-B mellan dem. Vi söker nu punkten CC som har kortast avstånd till punkten AA.

Vi konstaterar att vektorn rCA\mathbf{r}_{CA} måste vara vinkelrät mot planet om avståndet skall minimeras. Därför kan vi uttrycka den som projektionen av rBA\mathbf{r}_{BA} på normalvektorn n=(3,2,12)\mathbf{n}=(3,2,12):

rCA=rBA·n|n|2n\mathbf{r}_{CA}=\dfrac{\mathbf{r}_{BA}\cdot\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{n}

Punkten CC ges sedan enligt C=A-rCAC=A-\mathbf{r}_{CA}.

Svara
Close