Linjär Algebra, Bevis av likformiga matriser. (J.Månsson 6.16)

Utnyttja följande räkneregler för determinanter:

$\det(AB)=(\det A)(\det B)$

$\displaystyle \det T^{-1}=\frac{1}{\det T}$

D4NIEL skrev:

Utnyttja följande räkneregler för determinanter:

$\det(AB)=(\det A)(\det B)$

$\displaystyle \det T^{-1}=\frac{1}{\det T}$

Okej, nu har jag inte riktigt använt de lagar som du rekommenderade men undrar om jag ändå har rätt i mitt resonemang eller är ute och cyklar: 

Vad menar du med likformig matris = diagonalmatris?

Notera att likformighet är en relation mellan två matriser. Två matriser är likformiga (med varandra) eller så är de inte det. Det är således inte en fråga om en egenskap hos hos enskild matris.

PATENTERAMERA skrev:

Vad menar du med likformig matris = diagonalmatris?

Notera att likformighet är en relation mellan två matriser. Två matriser är likformiga (med varandra) eller så är de inte det. Det är således inte en fråga om en egenskap hos hos enskild matris.

Det jag menar är att likformig matris är ett annat ord för diagonalmatris. Var och läste på denna tråden: https://www.pluggakuten.se/trad/svarigheter-att-allmant-beskriva-matrismultiplikation-av-nxn-matris/

Där jag tolkade "Kom ihåg att en diagonalmatris är en likformig matris som bara har element skilda från noll i huvud diagonalen och att en övertriangulär matris är en matris med nollor i alla element under diagonalen."

Där jag tolkade det hela som:  $$\begin{gathered} Diagonalmatris \iff likformigmatris \\ men korrekt är då: \\ Diagonalmatris \Rightarrow likformigmatris? \end{gathered}$$

Det framgår inte vad de menar med likformighet i den uppgiften.

Notera att med den definition av likformighet som ges i vårt problem så är det nonsens att fråga om en matris A är likformig. Vad man kan fråga efter är om matrisen A är likformig med matrisen B.

Notera att för varje matris A kan vi finna oändligt många matriser B så att A och B är likformiga.

PATENTERAMERA skrev:

Det framgår inte vad de menar med likformighet i den uppgiften.

Notera att med den definition av likformighet som ges i vårt problem så är det nonsens att fråga om en matris A är likformig. Vad man kan fråga efter är om matrisen A är likformig med matrisen B.

Notera att för varje matris A kan vi finna oändligt många matriser B så att A och B är likformiga.

Okej, men vad menas med likformig? nxn?

Problemställningens första mening definierar vad det innebär att två matriser är likformiga

Två matriser $A$ och $B$ sägs vara likformiga om det finns en inverterbar matris $T$ sådan att $A=T^{-1}BT$.

Studera $\det A = \det (T^{-1}BT)$

Använd räknelagarna (multiplikationssatsen för determinanter) för att visa att det innebär $\det A = \det B$

Tillägg: 15 jul 2022 14:45

Exempel:

Matriserna $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 1 \\5 & 5 & 0 \\2 & 3 & 1 \end{array}\right)$ och $B=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-34 & -5 & 12 \\59 & 14 & -17 \\-75 & -6 & 30 \end{array}\right)$ är likformiga över transformationen $T=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\4 & 4 & 1 \\-3 & 1 & 2 \end{array}\right)$.

Ingen av matriserna är "diagonal".

Hur gick det med denna?

Utnyttja regeln att det(M₁M₂) = det(M₁)det(M₂).

Tänk på att TT^-1 = T^-1T = I, vilket implicerar (mha regeln ovan) att det(T)det(T^-1) = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Hur gick det med denna?

Utnyttja regeln att det(M₁M₂) = det(M₁)det(M₂).

Tänk på att TT^-1 = T^-1T = I, vilket implicerar (mha regeln ovan) att det(T)det(T^-1) = 1.

Nu har jag kikat på det, har gjort två försök är dock väldigt säker att "1"an är olaglig men postar med den ändå: 

Tvåan är rätt.

Ettan blir fel därför att matrismultiplikation är inte kommutativ.

Dvs generellt är det inte sant att T^-1BT = T^-1TB.

PATENTERAMERA skrev:

Tvåan är rätt.

Ettan blir fel därför att matrismultiplikation är inte kommutativ.

Dvs generellt är det inte sant att T^-1BT = T^-1TB.

Tack för hjälpen! :D