Linjär Algebra, Bevis av mittpunktsformlen. (J.Månsson 2.3a)

Börja med att sätta

OM= OP+PM

Försök sedan uttrycka PM som en kombination av vektorerna OP och OQ. PQ kan vara en hjälp på vägen.

Suttit och knåpat lite men lyckas inte riktigt komma fram till något... Här är vad jag har gjort: 

Hur skulle du uttryckt PM om du inte får använda dig av punkten M?

PATENTERAMERA skrev:

Humm... Antar att det blir: $OM=OP+\frac{1}{2}PQ$ och så ska jag hitta ett samband för OP?

Bedinsis skrev:

Hur skulle du uttryckt PM om du inte får använda dig av punkten M?

Ja du... Här sitter jag lite fast... xD 

Vill ha bort "MQ" biten, men kan inte utrycka det. Skulle kunna som en kvot men eftersom punkten O kan förflytta sig så skulle det endas gälla i ett fall och inte generellt. 

Det räcker att bevisa det för fallet  att O är origo vilket ju följer direkt av att det gäller för x resp y koordinaterna.

Sen addera vektorn 0O (origo till O) på båda sidor.

Edit:  Ska vara gäller för varje koordinat för sig inte bara x och y

ChocolateTerrain skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Humm... Antar att det blir: $OM=OP+\frac{1}{2}PQ$ och så ska jag hitta ett samband för OP?

Nja, jag skulle försöka uttrycka PQ i termer av OP och OQ.

farfarMats skrev:

Det räcker att bevisa det för fallet  att O är origo vilket ju följer direkt av att det gäller för x resp y koordinaterna.

Sen addera vektorn 0O (origo till O) på båda sidor.

 

Edit:  Ska vara gäller för varje koordinat för sig inte bara x och y

Att O är origo var ju nytt men vad menas med "0O"?

Nej nej O är inte origo.   0O ska vara (som det står) vektorn "origo till O".  Alltså $\stackrel{\rightharpoonup }{0O}$

 Är du med att satsen gäller för det fall att O råkar vara origo?

När O inte är origo: Subtrahera $\stackrel{\rightharpoonup }{0O}$ från alla tre vektorerna så har du samma uttryck med vektorer som börjar i origo.  

Du kan naturligtvis se det som en koordinattransformation, en translation, i stället.

PATENTERAMERA skrev:

ChocolateTerrain skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Humm... Antar att det blir: $OM=OP+\frac{1}{2}PQ$ och så ska jag hitta ett samband för OP?

Nja, jag skulle försöka uttrycka PQ i termer av OP och OQ.

Okej alltså i stil med:

Har dock hamnat på djupt vatten: 

Ser inte hur sambandet som ges i boken skall ge rätt vektor längre....

farfarMats skrev:

Nej nej O är inte origo.   0O ska vara (som det står) vektorn "origo till O". 

Är du med att satsen gäller för det fall att O råkar vara origo?

Aha! Mm men det känner jag ändå att jag är med på. Men likt jag svarade på PATENTERAMERA känner jag att jag tappat greppet om sambandet som presenteras i boken. Ser inte hur det stämmer med verkligheten 

OK jag vet inte vad det är du inte tycker att du förstår. Men tänk så här i stället:

Komplettera din skiss med linjer parallella med x och y-axeln till en rätvinklig triangel, nu är problemet att hitta koordinaterna till hypotenusans mittpunkt och vad satsen säger är att Ms x-koordinat är medelvärdet av de givna punkternas  x-koordinater och samma för de andra dimensionerna....

ChocolateTerrain skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

ChocolateTerrain skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Humm... Antar att det blir: $OM=OP+\frac{1}{2}PQ$ och så ska jag hitta ett samband för OP?

Nja, jag skulle försöka uttrycka PQ i termer av OP och OQ.

Okej alltså i stil med:

 

Har dock hamnat på djupt vatten: 

Ser inte hur sambandet som ges i boken skall ge rätt vektor längre....

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$.

farfarMats skrev:

OK jag vet inte vad det är du inte tycker att du förstår. Men tänk så här i stället:

Komplettera din skiss med linjer parallella med x och y-axeln till en rätvinklig triangel, nu är problemet att hitta koordinaterna till hypotenusans mittpunkt och vad satsen säger är att Ms x-koordinat är medelvärdet av de givna punkternas  x-koordinater och samma för de andra dimensionerna....

Har problem med att "bevisa" att det stämmer, tänker att jag ska hitta på något snittsit bevis likt:

Kanske är fel ute bara där, kan ju plugga in siffror i formeln och "testa" att den funkar men vet ej om detta tolkas om ett bevis? För mig är det mer ett "test" och att ett "bevis" skall vara generellt för alla siffror. Då jag (egentligen?) endast bevisat att det fungerar för just det scenario som jag testade.  

För att gå tillbaka till frågan jag ställde, om att uttrycka PM utan M, så menade jag att

PM= 0.5*PQ

Då har vi att

OM = OP + PM = OP + 0.5*PQ

Låt nu vektorn PQ beskrivas med hjälp av omvägen till punkten O.

Kollade igenom en av jonas månssons videor och tror jag har greppat det nu! 

Tack för hjälpen! 

Månssons videor: 

Geometri del 1 - introduktion, begreppet ortsvektor

Geometri del 2 - mittpunktsformeln