Linjär algebra: definiera metriktensorn utan en inre produkt

Glöm det, jag har blandat ihop helt...

Hur definieras en skalärprodukt? Hur definieras en tensor? Kan man definiera en skalärprodukt i termer av en tensor?

En del böcker definierar det som följer.

En skalärprodukt är en symmetrisk andra ordningens tensor g som uppfyller att

om g($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$) = 0 för alla $\overrightarrow{v}$, så är $\overrightarrow{u}$ = 0, dvs nollvektorn är den enda vektor som är ortogonal mot alla vektorer.

Denna definition är lite generellare än definitionen av inre produkt.

Sedan skriver man g($\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$) = $\overrightarrow{u}$•$\overrightarrow{v}$.

En lustig och (lite) mer generell definition är (med beteckningar från din tråd om tensorer)

$g_{hk}=B^j_hB^j_k$

Öh... ni menar alltså att inre produkten definieras med tensorer och inte tvärtom?

Du kan ju göra det åt vilket håll du önskar.

Om du har en skalärprodukt • så kan du definiera den metriska tensorn g genom

g(x, y) = x•y.

Alternativt, om du har en tensor g som uppfyller axiomen som jag nämnde, definierar vi skalärprodukten • genom

x•y = g(x, y).

Jag tror att Jroths definition gör att vi får en skalärprodukt/metrisk tensor där vår bas e₁, ..., e_n blir en ON-bas.

Om man har en en differentierbar mångfald som saknar metrik är den inre produkten endast möjlig genom parbildning mellan en ko- och kontravariant vektor.

Men om du faktiskt har en metrik kan du som pantenteramera förklarar definiera den inre produkten av två kontravarianta vektorer som den bilinjära formen

$(X\cdot Y)=g_{jh}(x)X^jY^h$

Och i linje med hur man slarvar lite med saker säger vi att $g_{jh}(x)$ är en (0,2)-tensor (den metriska tensorn) som gärna vill äta upp två kontravarianta vektorer och spotta ur sig en skalär.

Edit: Och eftersom frågan kanske egentligen var hur man definierar den metriska tensorn så är en god kandidat:

Låt

$g_{jh}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\frac{\partial^2F^2(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}^j\partial \dot{x}^h}$

Där funktionen F som i någon mening mäter längden $|X|$ är tillräckligt många gånger deriverbar i alla argument och oberoende av i vilket koordinatsystem vi använder. Vidare ska

$F(x^j,\lambda X^j)=\lambda F(x^j,X^j)$ för alla $\lambda>0$

Beroende på vilka ytterligare villkor vi påför får vi olika geometrier.

Särskilt gäller att om $F$ bara av beror av $x$ samt $\det (g_{jh})\neq 0$  har vi en Riemanngeometri  (med den metriska tensorn).

Det finns andra villkor och väger att gå, jmfr t.ex. Finsler --> https://en.wikipedia.org/wiki/Finsler_manifold