Linjär algebra, duala rum

V* = L(V,$\mathrm{ℝ}$) = mängden av linjära avbildningar från V till $\mathrm{ℝ}$. V* $\ne$ V.

W* är på motsvarande sätt L(W,$\mathrm{ℝ}$), dvs mängden av linjära avbildningar från W till $\mathrm{ℝ}$. W* $\ne$ W.

För varje F $\in$ L(V,W) så får vi en tillhörande funktion F* $\in$  L(W*,V*) där F* definieras genom sambandet

F*(f) = f $\circ$ F, för varje f $\in$ W*. F* induceras således av F.

F* $\ne$ F.

PATENTERAMERA skrev:

V* = L(V,$\mathrm{ℝ}$) = mängden av linjära avbildningar från V till $\mathrm{ℝ}$. V* $\ne$ V.

W* är på motsvarande sätt L(W,ℝℝ), dvs mängden av linjära avbildningar från W till ℝℝ. W* ≠≠ W.

Hur vet du att V* är mängden av linjära avbildningar från V till R och motsvarande för W*? Vad är i såna fall skillnaden mellan V och V* ? 

Det står uttryckligen i uppgiften att "Det duala rummet $V*$ är vektorrummet av linjära avbildningar $f:V\to\mathbb{R}$.".

$V$ är ett vektorrum, medans $V*$ är ett vektorrum utgjort av linjära avbildningar från $V$ till $\mathbb{R}$.