Linjär algebra - egenvärden och egenvektorer

Hej!

Jag har bara en snabb fråga om 3c)! Jag tänker att om en matris enbart har nollskilda element i diagonalen och resten av elementen är noll, så borde matrisen ha egenvärden. Men då man försöker att beräkna egenvektorerna så har ekvationen (A - $\lambda$I)x=0 enbart den triviala lösningen, vilket bara är nollvektorn. Men enligt definition ska egenvektorer vara skilda från nollvektorn, vilket gör att matrisen A saknar egenvektorer. Men facit säger att det inte är möjligt att hitta en sådan matris. Vad är det i mitt resonemang som är fel? Facit säger att ett karaktäristiskt polynom av grad 3 (pga 3x3 matris) enbart har reella nollställen, en det betyder väl bara att det har reella egenvärden och inte nödvändigtvis några egenvektorer enligt mitt resonemang?