Linjär Algebra: element i en kropp
Hej,
jag ska bestämma det karakteristiska polynomet för en 4x4 matris över en kropp k =(0,1,a,a+1) där 1+1=0 och aˆ2 =a+1.
Under beräkningen av determinanten så får jag element som inte tillhör kroppen t.ex siffran 2, och har satt dessa till 0 men jag är osäker om jag får göra så redan under matris beräkningen. Jag misstänker att jag måste vänta med det och se vad som går på noll för det slutgiltiga polynomet.
Kroppar och element är ett nytt område för mig, så påpeka gärna om jag har fått något om bakfoten eller om ni behöver mer information.
Tack på förhand med hjälpen.
Jag kan inte detta, försökte sätta upp en additionstabell och en multdito.
1+1 = 0, det vet vi, men kan man dra slutsatsen att a+a = 0?
a+a = a(1+1) borde gälla och a*0 är noll. Jag går på det. I så fall blir x+x = 0 för alla x, som jag ser det.
Mult:
a(a+1) = a+1+a = 1 och
(a+1) (a+1) = a+1 + a + a +1 = a ?
Inte mycket hjälp men kul att kika in bland våra ringa kroppar.
Jag resonerade likadant med 2 eller 2a, och påliknande sätt med multiplikation. Dock, vet jag inte med -a, den additativa inversen måste ju finnas, men är -a och a ekvivalenta element i mängden på samma sätt som -1 och 1 är i mod 2? isåfall vet jag inte hur det slutgiltiga polynomet ska om jag ¨borde¨ byta ut de koefficienter av -a till a.
Vidare borde väl a-1 också gå på noll i kroppen?
Om a+a = 0 så säger mitt enkla förstånd att –a = a.
Lita inte på mig, jag bara bollar tillbaka.
Marilyn skrev:Om a+a = 0 så säger mitt enkla förstånd att –a = a.
Lita inte på mig, jag bara bollar tillbaka.
tack för hjälpen, började göra en additions och multip.tabell. hittar inte dimensionen till mitt minimalpolynom av de egenvärden jag fått, misstänker att jag gjort något fel när jag gångrat eller adderat elementen i kroppen. Men tabellen gör det enklare än att hålla det i huvudet xD.
”Vidare borde väl a-1 också gå på noll i kroppen? ”
Hmm x = a–1 ger
a = 1+x
Om jag tittar på min additionstabell får jag att det enda element x som löser ekv är a+1.
Så a–1 = a+1
Har du en viss given matris, alltså?
Laguna skrev:Har du en viss given matris, alltså?
Det instämmer, uppgiften bestod av fyra deluppgifter: bestämma karakteristiska- och minimalpolynomet, egenbas till egenrummen och jordans normalform till matrisen. Och med vår kropp k vet jag att det finns element som går på noll och ekvivalenta klasser, men jag vet inte till vilken grad och när det är lämpligt att göra så.
T.ex för minimalpolyomet fick jag q_{A}(x) = (x-a)^{i}(x-(a+1))^{j}, och enligt sats gäller q_{A}(A)=0, så då itererade jag (A-a I)^{i}(A-(a+1)I)^{j} och fann att i =3 och j = 1 gav lösningen. MEN båda dessa matriser, (A-a I) och (A-(a+1)I) har element som 1-a, -a, -1 vilket jag var osäker på om jag ska tolka dessa element i kroppen k och när i beräkningen är det lämpligt att göra så?
Ursäkta om min fråga är obegriplig, saknar fortfarande erfarenhet med denna del av algebran.
Ska fråga professorn imorgon om detta.
