Linjär algebra (går linjen genom en viss punkt i R3?) (Matematik/Universitet)

Finns det ett t sådant att (4, 6, -1) = (1, 2, 0) + t(2, 2, -1)?

Det är inte x du har en parameterfrom för, utan (x, y, z).

En bild som visar situationen:

Linjen L har riktningsvektor $v = P Q = [\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$ . Där har du räknat rätt.

Jag är väl inte så glad över dina benämningar. Använd begreppet riktningsvektor.

Punkten S: (x,y,z) är godtyckligt belägen men på linjen L.

Sen blir det lite fel i dina kalkyler.

En parameterframställning av en linje i $\mathbb{R}^3$ , ska självklart ha tre ekvationer, en för varje rumskoordinat.

Så här ska du skriva:

Det sista uttrycket med "krullparentes", är linjens ekvation på parameterform.

Uppgift (b): Om pkt R ska ligga på L, ska den punkten självfallet genereras av linjens parameterframställning.

Sätt in R i p-framställningen och räkna på. Lös ut t. VAd händer?

dr_lund skrev:
En bild som visar situationen:
Linjen L har riktningsvektor $v = P Q = [\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$ . Där har du räknat rätt.
Jag är väl inte så glad över dina benämningar. Använd begreppet riktningsvektor.
Punkten S: (x,y,z) är godtyckligt belägen men på linjen L.
Sen blir det lite fel i dina kalkyler.
En parameterframställning av en linje i $\mathbb{R}^3$ , ska självklart ha tre ekvationer, en för varje rumskoordinat.
Så här ska du skriva:
Det sista uttrycket med "krullparentes", är linjens ekvation på parameterform.
Uppgift (b): Om pkt R ska ligga på L, ska den punkten självfallet generera av linjens parameterframställning.
Sätt in R i p-framställningen och räkna på. Lös ut t. VAd händer?

Det som står ovanför den med ”krullparantes”, varför kan man inte svara på det sättet? Är inte det också parameterform?

dr_lund skrev:
Uppgift (b): Om pkt R ska ligga på L, ska den punkten självfallet generera av linjens parameterframställning.
Sätt in R i p-framställningen och räkna på. Lös ut t. VAd händer?

Vad menas med ”pkt”?

dr_lund skrev:
En bild som visar situationen:
Linjen L har riktningsvektor $v = P Q = [\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$ . Där har du räknat rätt.

Varför ”vände” du på vektorn PQ? Jag fick ju (2,2,-1) men du har liksom ”vänt på den”. Varför gjorde du så? Eller har jag räknat fel?

pkt = punkt

Din kalkyl är ok. Jag ville visa att linjen också kan riktas upp av den motsatt riktade vektorn. Överens?

dr_lund skrev:
pkt = punkt
Din kalkyl är ok. Jag ville visa att linjen också kan riktas upp av den motsatt riktade vektorn. Överens?

Så jag skulle stoppa in R och lösa ut t, menade du såhär?? Ja inget speciellt händer förutom att jag får olika osammanhängande värden på t! Betyder det att linjen L inte går genom punkten R?

Korrekt analys.

t-värdet är inte entydigt

dr_lund skrev:
Korrekt analys.
t-värdet är inte entydigt

Okej men vad skulle t behövt vara för att en punkt ska ligga på en linje? Måste den bli noll? Eller ska alla t helt enkelt vara samma tal?

Ett och samma t-värde, om punkten ska ligga på linjen

Ekvationssystemet ska ha en lösning, med andra ord. Nu har den ingen lösning.

jag gjorde såhär på fråga c), är det rätt? och hur löser man ut d)?

Uppgift (C): Undersök skalärprodukten mellan planets normalvektor och linjens riktningsvektor. Slutsarser?

dr_lund skrev:
Uppgift (C): Undersök skalärprodukten mellan planets normalvektor och linjens riktningsvektor. Slutsarser?

Blev c) fel? Och hur räknar man linjens riktningsvektor?

dr_lund skrev:
Uppgift (C): Undersök skalärprodukten mellan planets normalvektor och linjens riktningsvektor. Slutsarser?

Skrev såhär på (d) iaf, är det rätt?

Uppgift (c) Du skriver själv:

Linjens parameterframställda ekvation:

$L:\left\{\begin{array}{rl} x&= 1+2t\\y&=2+2t\\z&=-t\end{array}\right.$ ,

vilket är helt korrekt.

Jag förstår inte din fråga ang. riktningsvektor.

Innan vi går vidare: Ovanstående linjes ekvation kan alternativt skrivas

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + t\cdot\mathbf{v}$ . Vektorn $\mathbf{v}$ är linjens riktningsvektor.

Kan du nu skriva upp linjens riktningsvektor på koordinatform?

Jag avvaktar mina övriga kommentarer angående Uppg (c) och väntar på ditt svar och återkoppling.

Tacksam om du också vill skriva namnet på din lärobok.

Uppgift (d);

Bild över situationen:

Som du kanske känner till, bestäms ett plan av en (fix) punkt P i planet och en normalvektor n.

Planets ekvation: $\overline{PS}\bullet\mathbf{n}=0$ , där $\overline{PS}$ är en vektor i planet.

Eftersom skalärprodukten är noll, innebär detta räta vinklar mellan $\overline{PS}$ och $\mathbf{n}$ .

Du skriver $(a,b,c)=(2,2,-1)$ . Kan du klä detta uttryck i ord? Vad har detta uttryck för koppling till planet/linjen?

Tacksam för återkoppling innan jag går vidare med uppg (d).

dr_lund skrev:
Uppgift (d);
Bild över situationen:
Som du kanske känner till, bestäms ett plan av en (fix) punkt P i planet och en normalvektor n.
Planets ekvation: $\overline{PS}\bullet\mathbf{n}=0$ , där $\overline{PS}$ är en vektor i planet.
Eftersom skalärprodukten är noll, innebär detta räta vinklar mellan $\overline{PS}$ och $\mathbf{n}$ .
Du skriver $(a,b,c)=(2,2,-1)$ . Kan du klä detta uttryck i ord? Vad har detta uttryck för koppling till planet/linjen?
Tacksam för återkoppling innan jag går vidare med uppg (d).

Men vektorn (2,2,-1) är väl på linjen L? Då borde man väl kunna säga att det är normalen? Jo jag förstår att någon vektor PS ligger på planet och att om man multiplicerar detta med dess normal är de lika med noll ty en normal är vinkelrät med planet. Men hur finner man någon vektor PS?

—-

Jag använder boken contemporary linear algebra av howard antorn och robert c. Busby!

——

annan fråga: kan man få ut normalen genom att ansätta något värde på t för linjen L? Tex om t=2 så får man ut (3,-2,2). Kan man då säga att (a,b,c)=(3,-2,2)?

OK tack för bok-info. Jag känner inte till den boken, men väl en liknande (Anton-Rorres).

"Men vektorn (2,2,-1) är väl på linjen L?"

Du tycks tveka. Varför?

Vektorn $v = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ är sannerligen linjens riktningsvektor.

Det är sorgligt att inte din lärare tydligt gått igenom vilken viktig information

man kan utläsa ur linjens ekvation $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}$ .

"Jo jag förstår att någon vektor PS ligger på planet och att om man multiplicerar detta med dess normal är de lika med noll ty en normal är vinkelrät med planet. Men hur finner man någon vektor PS? "

Här måste vi vara noga med terminologin. Det är fråga om en skalärprodukt mellan två vektorer, där resultatet blir ett reellt tal, en skalär.

"Men hur finner man någon vektor PS?"

Det är verkligen en central fråga som man som nybörjare i linjär algebra måste ha 100 % klart för sig.

Är detta genomgånget i kursen? Dvs utifrån två punkter bestämma en vektor.

Jag vill ha återkoppling innan vi fortsätter. Jag kollar i morgon, till dess God Natt.

dr_lund skrev:
OK tack för bok-info. Jag känner inte till den boken, men väl en liknande (Anton-Rorres).
"Men vektorn (2,2,-1) är väl på linjen L?"
Du tycks tveka. Varför?
Vektorn $v = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ är sannerligen linjens riktningsvektor.
Det är sorgligt att inte din lärare tydligt gått igenom vilken viktig information
man kan utläsa ur linjens ekvation $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}$ .

"Jo jag förstår att någon vektor PS ligger på planet och att om man multiplicerar detta med dess normal är de lika med noll ty en normal är vinkelrät med planet. Men hur finner man någon vektor PS? "
Här måste vi vara noga med terminologin. Det är fråga om en skalärprodukt mellan två vektorer, där resultatet blir ett reellt tal, en skalär.
"Men hur finner man någon vektor PS?"
Det är verkligen en central fråga som man som nybörjare i linjär algebra måste ha 100 % klart för sig.
Är detta genomgånget i kursen? Dvs utifrån två punkter bestämma en vektor.
Jag vill ha återkoppling innan vi fortsätter. Jag kollar i morgon, till dess God Natt.

Ja vi gick igenom skalärprodukt första föreläsningen och vi fick en tydlig definition på vad en vektor är, bara mitt minne som kanske var segt. Tror jag hänger med på fråga D nu!

Avslutningsvis återvänder jag till fråga (c)

Varför skrev jag

"Undersök skalärprodukten mellan planets normalvektor och linjens riktningsvektor. Slutsatser?", tror du?

Svar: Vi är nu båda överens om att linjens riktningsvektor $v = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ .

Vidare: Planets normalvektor är $n = [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}]$ , eller hur?

Jag vill att du återkopplar på detta med planets normalvektor.

Betrakta skalärprodukten $\mathbf{v}\bullet\mathbf{n}$ , dvs $[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}]$ =0, inte sant?

Det innebär rätvinklighet mellan v och n. Med andra ord kommer linjen aldrig att skära planet. Detta var en motivering till din annars så korrekta kalkyl. Överens?