Linjär Algebra, linjär avbildning

I kurslitteraturen står det följande:

Jag håller det gärna så konkret som möjligt, så jag går igenom ett konkret exempel som jag försökt komma upp med själv (vi får väldigt sällan/aldrig några konkreta exempel i kurslitteraturen). Det blir lite som att jag tänker högt här så märker ni att det är något som jag har misstolkat så får ni väldigt gärna säga till.

Från den information vi får på bilden: Om jag antar att A = {a_1, ..., a_n} = {1, t, t^2}, B = {b_1, ..., b_m} = {1, t} och att den linjära transformationen T är derivatan sådant att alla funktioner i vektorrummet V: f(t) = a+bt+ct^2 blir genom T,  f'(t) = b+2ct. Då borde jag ju få precis att T: V->W?

Jag förstår dock inte alls vad dom menar med: ${\left[T\right]}_{BA}:{\mathbb{K}}^n->{\mathbb{K}}^m$

Det jag tolkar det som är att det är någon form av linjär transformation som tar oss från K^n till K^m. K är ju en kropp och i vår kurs är K endast $\mathrm{ℝ}$ eller $\mathrm{ℂ}$.

Så då tänker jag i det här fallet att ${\left[T\right]}_{BA}:{\mathbb{K}}^n->{\mathbb{K}}^m$ alltså är ${\left[T\right]}_{BA}:{\mathrm{ℝ}}^n->{\mathrm{ℝ}}^m$

Om det jag tänkt hittills stämmer så tar ${\left[T\right]}_{BA}$ mig från R^3 till R^2.

Men givet att T är derivatan förstår jag inte alls hur jag ska tolka ${\left[T\right]}_{BA}$.

Om vi fokusera på första fyrkanten så tänker jag såhär i mitt exempel:

Från ${\mathbb{K}}^3$ får jag koordinatvektorn $(x_1, x_2, x_3)$ som genom:

$\left[\begin{array}{ccc}1& t& t^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{x}_1+x_{2}t+x_3{t}^2$ = $v\in V$

Då är vi i V, sen tillämpar jag T:

$Tv\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}f\text{'}\left(t\right) =\hspace{0.17em}{x}_2+2*x_{3}t\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}w\in W$

Och då ($x_2$,$2x_3$)$\in {\mathbb{K}}^2$, så har den här ${\left[T\right]}_{BA}$ som jag inte riktigt fattar, mappat $(x_1, x_2, x_3)\in {\mathbb{K}}^3$ till $(x_2, 2x_3)\in {\mathbb{K}}^2$?

Min fråga är alltså framförallt hur jag ska tolka ${\left[T\right]}_{BA}$, men jag vill även kolla om ni tror att min tolkning i övrigt är rätt och om man kan ta ett sånt exempel som jag gör i det här fallet.

(om mitt exempel är helt fel så får jag gärna hjälp med att tänka igenom vad som händer här med ett annat konkret exempel)

Vänligen

Edit: Några bevis och satser senare kom tillslut ett exempel som gav lite mer klarhet.

Min operation i mitt exempel blir, tror jag, givet basen $\{p_0, p_1, p_2\} =\hspace{0.17em}\{1, t, t^2\}$, 

$Tp\left(t\right) =\hspace{0.17em}p\text{'}\left(t\right)$

Så $T{p}_0\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0, T{p}_1\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1, T{p}_2 =\hspace{0.17em}2t$

Vilket ger att matrisen: ${\left[T\right]}_{BA}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ , eller något i stil med det?