Linjär algebra - ortonormerade basbyten

Hej!

Med jättestor sannolikhet att detta är fel... Jag förstår problemet som att vi har en vektor $v_1$ som är uttryckt i bas $B_1$, så vi måste hitta den ursprungliga vektor:

$B_{1}v{\text{'}}_1=v_1$

$\left(\begin{array}{ccc}1/3& 2/3& -2/3\\ 2/3& 1/3& 2/3\\ 2/3& -2/3& -1/3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, som ger $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1/3\\ 4/3\\ 1/3\end{array}\right)$

Och detta vektor måste nu multipliceras med transponaten :

$\left(\begin{array}{ccc}1/3& 2/3& 2/3\\ 2/3& 1/3& -2/3\\ -2/3& 2/3& -1/3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1/3\\ 4/3\\ 1/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5/9\\ 4/9\\ -11/9\end{array}\right)$

Men jag är riktigt osäker, dessa problem brukar komma med en abildning $A$ i standard basen, så att det blir en multiplikation från vänster till höger:

$A\text{'}=B^{T}A{B}_1$

Det är bara att vänta tills dem som kan sin linjäralgebra vaknar :)

En transformationsmatris där basvektorerna till $B_2$ är uttryckta i basen $B_1$ ges av:

$T_{B_{2\to 1}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\2 & 1 & 2 \\2 & -2 & -1 \\\end{array}\right)$

Då gäller

$\displaystyle x_{B_1}=T_{B_{2\to 1}} x_{B_2},\quad x_{B_2}=(T_{B_{2\to 1}})^{-1} x_{B_1}$

För ortogonala matriser gäller att $T^{-1}=T^{t}$ och vi kan nu beräkna vektorerna $v1$ och $v2$ uttryckta i basen $B_2$ genom att helt enkelt multiplicera med $T^{t}$ från vänster, för t.ex. $v2$ gäller

$v2_{B_2}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \\\end{array}\right)\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4 \\-1 \\1\end{pmatrix}$