Linjär algebra-Planets ekvation
Hej!
Nu har jag hittat en jättebra spellista på Youtube om Linjär algebra från MatteCentrum.
Där löser man olika uppgifter.
Jag förstår inte skillnaden på Uppgift 1 och uppgift 14 .
I båda uppgifterna ska man ta fram planets ekvation.
I Uppgift 1 har man tre punkter P=(1,2,0) Q=(-1,3-1) R=(-1,1,2)
Ekvationen för planet är :
ax+by+cz+d=0
Man ställer upp dessa tre rader i ett ekvationsystem och löser ut skärningspunkten.
Man får då att; a=3, b=2, c=4 och d=-7
Detta är då planets ekvation. (3x+2y+4z-7=0)
I uppgift 14, ska man oxå ta fram planets ekvation.
Där har man fått 2 st linjer angivna:
Linje1
x=1-2t
y=2+3t
z=3-4t
Linje2
x=1+2t
y=1-2t
z=4+3t
Även här ställer man upp det som nån ekvation och löser ut vad t för första linjen är och t för den andra linjen.
t1=1 t2=-1 (fast jag får alltid tvärtom på allting... men kan leva med det, det kanske blir samma nånstans i slutänden)
Nu kan man ta t1 eller t2 (vilket man känner mest för) och stoppa in i första eller andra linjen.
Och får då en skärningspunkt.
I uppgift 1 så var det ju koordinaterna från skärningspunkten som blev planets ekvation.
Men så är det inte här.
Nu tar man fram en normal till linjerna , och det är DENNA som blir koordinaterna i planets ekvation?
Varför blir det skillnad?
Jag tänkte att i Uppgift 1 kanske de redan var ortogonala. Men det har jag kollat och det är de inte.
Ska man ha normalen eller skärningspunkten?
14:
t betecknar här två olika parametrar, en för vardera linje. Du kan inte lösa ut t. Om du vill kan du byta namn på den ena parametern till s, så att du inte blandar ihop dem.
Uppgiften kan lösas t ex genom att ta fram tre punkter i planet, 2 på den ena linjen och 1 på den andra. Lös som uppgift 1.
Annars kan planets normal tas fram m.h.a kryssprodukt.
Ja fast i uppgift 1 tar man aldrig fram normalen ?
Det borde man väl gjort även där?
I 1 kan normalen tas fram som t.ex
PQ × QR
men det går lika bra att strunta i det och lösa ett ekvationssystem.
Om jag tar kryssprodjkten mellan P (1,2,0) och Q(-1,3,-1) så får jag (-2,1,5)
Det blir INTE samma som ekvationen 3a+2b+4c-7 som facit är. Så det verkar inte fungera...
Du beräknar fel vektor. Den du beräknar nu är den vektor som är vinkelrät mot dels en linje genom origo och P, dels mot en linje som går genom origo och Q. Gör som Dr.G föreslår istället:
I 1 kan normalen tas fram som t.ex PQ × QR
Ja. Jag tog kryssprodukten mellan 2 punkter.
Det blev fel.
Jag måste först räkna ut 2 vektorer med hjälp av punkterna.
Sedan kryssprodukt av vektorerna.
Då får jag fram normalen. 3,2,4
Detta är siffrorna framför x,y,z.
För att få fram "d" så tar jag nån av punkterna (Alla ger samma svar) och sätter in punkten som x,y,z.
Tex 1*3 +2*2+4*0+d=0
Då får jag alltså fram hela ekvationen 🙂
Man kan alltså lösa det på olika sätt.
Antingen som en ekvation eller med kryssprodukten (vektorer).
Tack för hjälpen !
