Linjär Algebra - Projektion och Linjär beroende/oberoende

I definitionen på andra raden så ska du ersätta 

v med -v

u med -u

t med t + u + v

Tack! Jag gjorde det och kom fram till detta. Hur går jag vidare?

Faktorisera ut v och w!

bör väl bli såhär?. Är dock fortfarande lite lost hur jag går vidare efter det här :(. Är inte målet att visa att dem bildar samma parallellogram ifall v och w är linjär oberoende?

Om parametern lambda är sådan att

$0 \leq \lambda \leq 1$,

vad kan man då säga om 

$1-\lambda$

?

Den är icke negativ och mellan 0 och 1

 Vi kan kalla det för något annat om du vill. 

$0 \leq \lambda \leq 1$

så

$0 \geq -\lambda \geq -1$

eller

$1 \geq 1-\lambda \geq 0$

eller

$1 \geq \lambda\prime\geq 0$

där

$\lambda\prime = 1-\lambda$

Slutsats?

$\lambda v +\mu w + t =\hspace{0.17em}\lambda \text{'}v + \mu \text{'}w + t ?$

Ingen aning faktiskt :/

Lambda och my är bara namnen på två parametrar. 

Du får fram två andra parametrar som antar precis samma värden. 

Ser du att de två mängderna är ekvivalenta?

Rent geometriskt kan du se det som att den ena mängden bygger upp parallellogrammen från hörnet i t och den andra bygger upp den från hörnet i t + v + w. 

Men då är väl den ena en delmängd av den andra? Hur visar det ett lika med tecken för då måste ju VL = HL

Hur blir det ens ett parallellogram? Är inte båda mängder ekvationen för ett plan?

En godtycklig punkt i ena mängden kan skrivas

$\lambda v+ \mu w+t$

En godtycklig punkt i andra mängden kan skrivas

$(1-\lambda) v+ (1-\mu) w+t$

Men både

$\lambda$

och

$1-\lambda$

antar precis samma värden (alla värden mellan 0 och 1).

RandomUsername skrev:

Hur blir det ens ett parallellogram? Är inte båda mängder ekvationen för ett plan?

En delmängd av ett plan. 

Utgå från punkten t. Därifrån kan du röra dig längs u upp till u:s längd (lambda mellan 0 och 1) och/eller längs v upp till v:s längd (my mellan 0 och 1).

Du kan inte gå till t.ex punkten t + 2u - 37v, p.g.a restriktionerna på lambda och my. 

Alltså eftersom HL har 1-lambda som antar alla värden mellan 0 och 1 och VL har lambda som antar alla värden mellan 0 och 1 kommer båda mängder bygga upp samma parallelogram?