11 svar
402 visningar
ChocolateTerrain är nöjd med hjälpen
ChocolateTerrain 166
Postad: 11 aug 2022 02:59

Linjär algebra, Rotera avbildningsmatris kring två olika axlar. (J. Månsson 8.20)

Hej igen! har fastnat på följande uppgift: 

Här är vad jag har försökt med: 

Smaragdalena 79480 – Lärare
Postad: 11 aug 2022 09:42

Den första rotationen flyttar positiva y-axeln till positiva z-axeln och positiva z-axeln till negativa y-axeln, medan x-axeln blir kvar där den var från början. Stämmer detta med din matris?

ChocolateTerrain 166
Postad: 11 aug 2022 17:23
Smaragdalena skrev:

Den första rotationen flyttar positiva y-axeln till positiva z-axeln och positiva z-axeln till negativa y-axeln, medan x-axeln blir kvar där den var från början. Stämmer detta med din matris?

Det är det jag (tänker) att jag har gjort och resultatet är "B" matrisen

D4NIEL 2657
Postad: 11 aug 2022 20:19 Redigerad: 11 aug 2022 20:22

Den positiva y-axeln är vektorn (0,1,0)(0,1,0) och den ska till den positiva z-axeln (0,0,1)(0,0,1).

Testa att rotera (0,1,0)(0,1,0) med din matris BB. Får du verkligen (0,0,1)?

Kolonnerna i BB ska vara de roterade basvektorerna i tur och ordning. x-axeln lämnas orörd (1,0,0)T(1,0,0)^T, den andra kolonnen ska enligt ovan vara (0,0,1)T(0,0,1)^T osv.

ChocolateTerrain 166
Postad: 11 aug 2022 23:46

Har korrigerat mina beräkningar något: 

Vilket ger mig rätt resultat men i "omvänd ordning", men detta kanske kokar ner till att jag har en annan placering på mina x,y,z axlar? 

D4NIEL 2657
Postad: 12 aug 2022 00:07 Redigerad: 12 aug 2022 00:09

Bra, nu har du rätt rotationsmatriser, men tänk på hur matriserna verkar på en vektor u\mathbf{u}

Om vi först roterar kring x-axeln får vi

u'=Bu\mathbf{u}\prime=B\mathbf{u}

Om vi sedan roterar den resulterande vektorn kring y-axeln får vi

Cu'=C(Bu)=CBuC\mathbf{u}\prime=C(B\mathbf{u})=CB\mathbf{u}

En rotation kring x följt av en rotation kring y är alltså matrisen CBCB

ChocolateTerrain 166
Postad: 12 aug 2022 02:41
D4NIEL skrev:

Bra, nu har du rätt rotationsmatriser, men tänk på hur matriserna verkar på en vektor u\mathbf{u}

Om vi först roterar kring x-axeln får vi

u'=Bu\mathbf{u}\prime=B\mathbf{u}

Om vi sedan roterar den resulterande vektorn kring y-axeln får vi

Cu'=C(Bu)=CBuC\mathbf{u}\prime=C(B\mathbf{u})=CB\mathbf{u}

En rotation kring x följt av en rotation kring y är alltså matrisen CBCB

aha! Tack ännu en gång! 

ChocolateTerrain 166
Postad: 14 aug 2022 16:18
ChocolateTerrain skrev:

Har korrigerat mina beräkningar något: 

Vilket ger mig rätt resultat men i "omvänd ordning", men detta kanske kokar ner till att jag har en annan placering på mina x,y,z axlar? 

Hej igen! Försökte mig på denna uppgift idag igen då jag tänkte att jag hade förstått den till fullo. Men så verkar inte fallet vara. Mitt problem är vid transponeringen av "C" matrisen (som jag nu kallar "Y"):

D4NIEL 2657
Postad: 14 aug 2022 18:30 Redigerad: 14 aug 2022 18:41

Kanske kan den här bilden hjälpa dig. Den vänstra bilden är koordinatsystemet sett ur perspektiv. Den högra bilden är samma koordinatsystem sett från spetsen av y-axeln. Notera att x-axeln pekar åt vänster.

basvektor (1,0,0)  ska till (0,0,-1)

basvektor (0,1,0) lämnas oförändrad (rotation kring denna axel)

basvektor (0,0,1) ska till (1,0,0)

Det ger rotatationsmatrisen (för en rotation π/2\pi/2 i positiv led kring y-axeln sett från spetsen av y-axeln)

Ry=001010-100R_y=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \end{array}\right)

ChocolateTerrain 166
Postad: 15 aug 2022 15:22
D4NIEL skrev:

Kanske kan den här bilden hjälpa dig. Den vänstra bilden är koordinatsystemet sett ur perspektiv. Den högra bilden är samma koordinatsystem sett från spetsen av y-axeln. Notera att x-axeln pekar åt vänster.

basvektor (1,0,0)  ska till (0,0,-1)

basvektor (0,1,0) lämnas oförändrad (rotation kring denna axel)

basvektor (0,0,1) ska till (1,0,0)

Det ger rotatationsmatrisen (för en rotation π/2\pi/2 i positiv led kring y-axeln sett från spetsen av y-axeln)

Ry=001010-100R_y=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \end{array}\right)

Okej! Tror jag börjar förstå det nu! (min egna beräkning:)

Men samtidigt så uppstår frågan om det är en annan vinkel än pi/2. Om det ex. är pi/3 i x-axeln följt av pi/6 i y-axeln?

Hur gör jag då?

 

I boken (vilket var det jag försökte göra när jag gjorde denna uppgift först) nämner de: 

Alltså, hur förändras cosv och sinv för rotation kring x och y-axeln? (hur ska avbindlingsmatrisen se ut)

D4NIEL 2657
Postad: 15 aug 2022 16:16 Redigerad: 15 aug 2022 16:31

Det är bara att projicera de "nya koordinataxlarna" på de gamla. För rotation kring x-axeln sett från spetsen av x-axeln ser det ut så här:

Vi ser att y-axeln ska till (0,cos(θ),sin(θ))(0,\cos(\theta),\sin(\theta))

z-axeln ska till (0,-sin(θ),cos(θ))(0,-\sin(\theta),\cos(\theta))

x-axeln lämnas orörd, alltså blir rotationsmatrisen

Rx=1000cos(θ)-sin(θ)0sin(θ)cos(θ)R_x=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array}\right)

För rotation kring y-axeln får vi på motsvarande sätt

Ry=cos(θ)0sin(θ)010-sin(θ)0cos(θ)R_y=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\0 & 1 & 0 \\-\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array}\right)

Som minnesregel (om du inte vill räkna ut matriserna) kan du tänka på att först sätta in den axel som ska lämnas orörd och sedan placera ut mönstret för sin(θ)\sin(\theta) och cos(θ)\cos(\theta). Jag skulle dock rekommendera att du faktiskt gör en snabb skiss, det är väldigt lätt att råka göra ett teckenfel annars.

ChocolateTerrain 166
Postad: 15 aug 2022 22:51
D4NIEL skrev:

Det är bara att projicera de "nya koordinataxlarna" på de gamla. För rotation kring x-axeln sett från spetsen av x-axeln ser det ut så här:

Vi ser att y-axeln ska till (0,cos(θ),sin(θ))(0,\cos(\theta),\sin(\theta))

z-axeln ska till (0,-sin(θ),cos(θ))(0,-\sin(\theta),\cos(\theta))

x-axeln lämnas orörd, alltså blir rotationsmatrisen

Rx=1000cos(θ)-sin(θ)0sin(θ)cos(θ)R_x=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array}\right)

För rotation kring y-axeln får vi på motsvarande sätt

Ry=cos(θ)0sin(θ)010-sin(θ)0cos(θ)R_y=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\0 & 1 & 0 \\-\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array}\right)

Som minnesregel (om du inte vill räkna ut matriserna) kan du tänka på att först sätta in den axel som ska lämnas orörd och sedan placera ut mönstret för sin(θ)\sin(\theta) och cos(θ)\cos(\theta). Jag skulle dock rekommendera att du faktiskt gör en snabb skiss, det är väldigt lätt att råka göra ett teckenfel annars.

Tack återigen D4niel!

Svara Avbryt
Close