Linjär algebra - Självadjungerade och normala operatorer

Mitt exempel: $L : ℂ^{2} \to ℂ^{2}, L (x) = [\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}] x$ där inre produkten är standard $< x, y > \forall x, y \in ℂ^{2}$ .

Stämmer detta, jag tror det borde stämma då jag kontrollerat med definitionerna ( $L L^{*} = L^{*} L, L^{*} \neq L$ ), men facit ger såklart ett annat exempel som är mycket mer komplicerat, så är lite osäker ändå. Vill bara ha det bekräftat om det är korrekt eller ej. Tack!

De skriver också att både L och den hermiteska operatorn ska vara normal, men om L är det, blir inte den hermiteska också det automatiskt?

Om du kontrollerat definitionerna så stämmer det. Jag får också att $L$ är normal och $L = -L^*$ . Det enda man kan fråga sig om vad "belysande" innebär i denna kontext.

En operator är normal om den kommuterar med sin adjoint (adjunkt?). Det gäller därför att en operator $A$ är normal om och endast om $A^*$ är normal, som du är inne på (applicera nämligen definitionen av normal för $A^*$ och använd att $(A^*)^* = A$ ).

Vad ger facit för exempel?

Dehär säger facit

Svara