Linjär Algebra - skärningspunkter mellan två plan

Först o framst måste jag lika det för en sådant thorough utredning!

Jag som är slarvfel drottning kan berätta var slarvet har hänt:

Fixar du det, får du rätt.

Tack för det!

Då konkluderar jag följande, gauss-jordan elimination var rätt strategi.

Min undre utredning var sannolikt korrekt då mitt slarvfel skapade en linjärt oberoende riktningsvektor till facits - vilket visas i geogebraskissen.

Men mina frågor kvarstår till varför strategi VL=HL alt Addera VL och HL inge fungerade alltså addition- och substitutionsmetoden som används i analysen. Den bör väl fungera men att lösningarna ges på generell form och inte parameterform direkt som guass eller gauss-Jordan gör?

Ingen av metoderna är fel, det är bara att du inte gör dem färdigt.

I den första löser du ut att $x=1-4z$ och sedan hittar du på att $y=0$. Vad du i själva verket skall göra är att sätta tillbaka $x=1-4z$ i antingen $(1)$ eller $(2)$. Om du sätter in det i $(1)$ erhålles:

$1-4z+y-z=3$

$y-5z=2$

$y=2+5z$

Således vet du att:

$x=1-4z$

$y=2+5z$

Låter du $z=t$ får du en parametrisering av linjen:

$\{\begin{matrix}x=1-4z\\y=2+5t\\z=t\color{transparent}aaaa\end{matrix}$

I den andra metoden kommer du fram till att:

$3x+2y+2z=7$

Här kan du exempelvis lösa ut att:

$z=\dfrac{7}{2}-y-\dfrac{3x}{2}$

och sätta tillbaka i $(1)$, vilket ger:

$x+y-(\dfrac{7}{2}-y-\dfrac{3x}{2})=3$

$\dfrac{5x}{2}+2y=\dfrac{13}{2}$

$2y=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5x}{2}$

$y=\dfrac{13}{4}-\dfrac{5x}{4}$

vilket ger:

$z=\dfrac{7}{2}-(\dfrac{13}{4}-\dfrac{5x}{4})-\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{x}{4}$

Om vi nu låter $x=t$ får vi parametriseringen:

$\{\begin{matrix}x=t\color{transparent}aaaaa\\y=\frac{13}{4}-\frac{5t}{4}\\z=\frac{1}{4}-\frac{t}{4}\color{transparent}a\end{matrix}$

vilket är samma linje som förut.

Om du inte sätter tillbaka det du löser ut i en av ekvationerna blir resultatet att bara en av ekvationerna uppfylls, och därmed får du fel svar.