Linjär algebra, underbestämt homogent system
Följande ekvationer är del av samma system (hittade inte symbolen för det):
Här tyckte jag det var smidigt att köra (c) + 2(a) och få följande:
Med detta kan jag uttrycka i och och köra vidare därifrån med och .
Men, facit lyckas även att uttrycka i . De anger följande lösningsmängd: .
Jag tänker att jag helt enkelt missar någon algebraisk finurlighet som skulle låta mig få ner en av ekvationerna till två okända, eller att det faktum att systemet är homogent medför en möjlighet som förbigår mig.
Dessutom så får jag att vilket kanske helt enkelt kan förklaras med det här med att variablerna kan vara alla reella tal och det finns således flera sätt att uttrycka dem, men jag känner mig inte säker på detta.
De uttrycker väl inte x4 i termer av x5? De inför den nya variabeln t1 för att hantera x4, sedan uttrycker de x5 i termer av den nya variabeln t2, och sedan har de infört alla variabler som krävs för att övriga x skall kunna uttryckas av dessa två införda variabler.
Räknar du på så har jag på känn att du kommer få samma svar som facit med skillnaden att du kommer ha en massa bråk som multipliceras med t1-faktorn, och om du omdefinierar t1 så att x4 i själva verket var 25 stycken exemplar av den nya variabeln t1 så kommer du bli av med alla bråken.
Tack. Jag förstår, men ändå inte.
Sen säger vi att
och då blir min lösningsmängd som facits. Men jag känner mig inte bekväm med det sista steget. Det känns som om jag gör en av rötterna 25 gånger större och att allt borde glida ur fas i och med denna matematiska synd, plus att det inte känns bra att t1 och t2 är oberoende av varandra. Fastän jag provade med att sätta in 5 och 3 och alla ekvationer stämde.
Uppgiften är löst men jag behöver nog lite mer hjälp för att uppnå förståelse här.
Att t1 och t2 är oberoende beror på att din uppsättning lösningar inte är en linje utan ett plan*. Tänk följande underbestämda ekvationssystem:
1x+0y+0z=0
0x+1y+0z=0
Där står det egentligen att
x=0
y=0
Vilket gör att vi kan välja z-värdena helt fritt så länge x och y är 0. z=t, där t är en fri variabel, kan man då beteckna alla lösningar med. Detta beskriver alla punkter på z-axeln. Men man kan om man vill lika gärna sätta lösningen z=20t, om man vill, eftersom detta också beskriver alla punkter på z-axeln.
Eller betrakta exemplet
1x+0y+0z=0
1x+0y+0z=0
som egentligen bara sätter begränsningen att
x=0
så y och z kan väljas fritt så länge som x=0. Detta är egentligen yz-planet, som man kan beskriva som
y=t1
z=t2
om man vill, ty då kan man röra sig fritt över yz-planet. Man kan också beskriva det som
y=2000000*t1
z=-12*t2
ty man kan då också röra sig fritt över yz-planet.
*Jag tror det formellt kallas ett hyperplan i högre dimensioner.
