11 svar
109 visningar
Ygolopot är nöjd med hjälpen!
Ygolopot 86
Postad: 28 okt 2020

Linjär Algebra, visa att KerT = Ker(T*T)

Hej,

Gillar ju inte att slänga iväg en fråga utan att visa vad jag testat hittills men jag är verkligen blank här. Någon som kan ge mig en ledtråd hur jag kan börja?

Tack!

Micimacko 2111
Postad: 28 okt 2020

Måste inte T vara kvadratisk för att T*T ska finnas? Eller är det inte så petigt med det?

Jag tänker att du har något T och något x, och Tx=0. Sen har du något y så att Ty inte blir 0. Vad händer om du tar svaret i varje och gångrar vidare? TTx och TTy, genom en matris i taget?

oggih Online 804 – F.d. Moderator
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

De två inklusionerna du ska visa är dessa:

  • Ker(T)Ker(T*T)\mathrm{Ker}(T)\subseteq\mathrm{Ker}(T^*T)
  • Ker(T*T)Ker(T)\mathrm{Ker}(T^*T)\subseteq\mathrm{Ker}(T),

vilket kan formuleras om som två implikationer:

  • Tx=0T*Tx=0T\mathbf{x}=\mathbf{0}\Longrightarrow T^*T\mathbf{x}=\mathbf{0}
  • T*Tx=0Tx=0T^*T\mathbf{x}=\mathbf{0}\Longrightarrow T\mathbf{x}=\mathbf{0}.

En av de här implikationerna är enkel - ser du vilken? Den andra kan du använda ledtråden på...

Ygolopot 86
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Nu kanske jag missade din poäng. Men från det du skriver tänker jag såhär: Låt Tx = 0, då är T*Tx = T*(Tx) = T*0 = 0.

Kan det vara en start tror du?

Jag tänker dock att, visst, då är det för alla x sådana att Tx = 0 så är T*Tx = 0. Men borde det inte finnas till exempel ett y sådant att T*Ty = 0 utan att Ty = 0?

 

Edit: Postade innan jag såg ditt inlägg oggih, men okej då fattar jag. Gissar att den enkla implikationen är den jag gjort så ska se om jag löser andra nu med

oggih Online 804 – F.d. Moderator
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020
Micimacko skrev:

Måste inte T vara kvadratisk för att T*T ska finnas? Eller är det inte så petigt med det?

Nja, T*TT^*T makear sense oavsett vilka dimensioner TT har. Om Tm×nT\in\mathbb{R}^{m\times n} så gäller T*n×mT^*\in\mathbb{R}^{n\times m}, dvs. T*T^* har lika många kolumner som TT har rader, vilket är precis vad som behöver för att de ska gå att multiplicera med varandra.

oggih Online 804 – F.d. Moderator
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020
Ygolopot skrev:

Nu kanske jag missade din poäng. Men från det du skriver tänker jag såhär: Låt Tx = 0, då är T*Tx = T*(Tx) = T*0 = 0.

Kan det vara en start tror du?

Bra! Precis så enkelt är det att visa Ker(T)Ker(T*T)\mathrm{Ker}(T)\subseteq\mathrm{Ker}(T^*T).

Jag tänker dock att, visst, då är det för alla x sådana att Tx = 0 så är T*Tx = 0. Men borde det inte finnas till exempel ett y sådant att T*Ty = 0 utan att Ty = 0?

Det är absolut en befogad misstanke, men nej, det finns faktiskt ingen sådan vektor y\mathbf{y}, och det är det vi ska visa!

Idén är följande:

Anta att T*Tx=0T^*T\mathbf{x} = \mathbf{0}.

Eftersom man alltid får 0 om man tar skalärprodukten med nollvektorn, så medför detta att T*Tx,x=0\langle T^*T\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle=0.

Använd nu ledtråden! Vad kommer du fram till?

Ygolopot 86
Postad: 28 okt 2020

Ahaaaaa!!! Haha grymt ju. Tack snälla för hjälpen!

Vi har ju då att Tx,Tx =0 vilket kräver Tx= 0 enligt skalärproduktsaxiomen. Och detta är en direkt konsekvens av T*Tx = 0. Så därför gäller även den implikationen.

Tack så jättemycket! :)

Ygolopot skrev:

Ahaaaaa!!! Haha grymt ju. Tack snälla för hjälpen!

Vi har ju då att Tx,Tx =0 vilket kräver Tx= 0 enligt skalärproduktsaxiomen. Och detta är en direkt konsekvens av T*Tx = 0. Så därför gäller även den implikationen.

Snyggt jobbat! ^_^

Qetsiyah Online 4780 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 28 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Posta gärna mer linjär algebra! Inte för att jag kan svara då då (ibland kanske), men det är kul att läsa.

Albiki 5077
Postad: 28 okt 2020

Hej,

  • Om xKer(T*T)x \in \text{Ker}(T^*T) så ger Ledningen att ||Tx||2=0||Tx||^2=0 vilket medför att Tx=0Tx=0, så xKer(T).x \in \text{Ker}(T). Eftersom xx var godtyckligt vald har man visat inklusionen

    Ker(T*T)Ker(T).\text{Ker}(T^*T) \subseteq \text{Ker}(T).

  • Om xKer(T)x \in \text{Ker}(T) så är Tx=0Tx = 0 och då följer det att 0=T*(Tx)=(T*T)x0=T^*(Tx)=(T^*T)x, så xKer(T*T).x \in \text{Ker}(T^*T). Eftersom xx var godtyckligt vald har man visat inklusionen Ker(T)Ker(T*T).\text{Ker}(T) \subseteq \text{Ker}(T^*T).
Ygolopot 86
Postad: 29 okt 2020
Qetsiyah skrev:

Posta gärna mer linjär algebra! Inte för att jag kan svara då då (ibland kanske), men det är kul att läsa.

Hehe det kommer garanterat fler frågor från mitt håll! ;)

Albiki: Snyggt, så kan man tänka såklart. Kanske är en bra utgångspunkt generellt för frågar av den karaktären att börja med att utgå från att x hör till nollrummet för att sen visa vad det leder till. Tack! :)

Treeeeeevligt, ska svara på de jag kan

Svara Avbryt
Close