2 svar
36 visningar
Korra 2446
Postad: 28 feb 2019

Linjär approximation

Hej.

När man gör en linjär approximation deriverar man först funktionen f(x), sedan tar man derivatan i någon punkt och får fram en rät linje. Jag tänker att om funktionen är tillräckligt lätt att derivera, kan man inte bara ta reda på värdet man är ute efter med startfunktionen då? Vad är poängen med linjär approximation? Varför gå steget extra? 

Finns det någon som kan visa ett bra exempel där linjär approximation kan vara användbart. 

Tack. 

Dr. G 4454
Postad: 28 feb 2019

Linjär approximation är extremt användbart. Man kan då på ett enkelt sätt beskriva approximativt hur en funktionsvärdet varierar när du har lite osäkerhet i en parameter (eller flera).

Säg att du tror att din parameter har värdet x0, som ger ett funktionsvärde (vad det nu är) f(x0). Om nu det verkliga parametervärdet är x0 + h så blir ditt verkliga funktionsvärde f(x0 + h), som visserligen då ibland kan räknas ut exakt, men det kan approximeras med f(x0) + h*f'(x0), där derivatan i många användbara fall får uppskattas med numeriska metoder.

Poängen är att du får en skalfaktor som relaterar felet i x0 till felet i f(x0), och denna skalfaktor är derivatan. Om felet i x0 är h så är felet i f(x) ungefär h*f'(x0), för tillräckligt små h. 

Beror funktionen av flera parametrar så får du olika skalfaktorer för de olika parametrarna, vilket kan innebära att du får information om hur noga du behöver se till att inparametrarna har rätt värden för att du ska få ett acceptabelt utvärde.

Det går förstås att räkna mer eller mindre exakt istället och titta på grafer istället för att förhålla sig till ett nummer, men det blir snabbt bökigt om parameterantalet är stort. 

Korra 2446
Postad: 28 feb 2019
Dr. G skrev:

Linjär approximation är extremt användbart. Man kan då på ett enkelt sätt beskriva approximativt hur en funktionsvärdet varierar när du har lite osäkerhet i en parameter (eller flera).

Säg att du tror att din parameter har värdet x0, som ger ett funktionsvärde (vad det nu är) f(x0). Om nu det verkliga parametervärdet är x0 + h så blir ditt verkliga funktionsvärde f(x0 + h), som visserligen då ibland kan räknas ut exakt, men det kan approximeras med f(x0) + h*f'(x0), där derivatan i många användbara fall får uppskattas med numeriska metoder.

Poängen är att du får en skalfaktor som relaterar felet i x0 till felet i f(x0), och denna skalfaktor är derivatan. Om felet i x0 är h så är felet i f(x) ungefär h*f'(x0), för tillräckligt små h. 

Beror funktionen av flera parametrar så får du olika skalfaktorer för de olika parametrarna, vilket kan innebära att du får information om hur noga du behöver se till att inparametrarna har rätt värden för att du ska få ett acceptabelt utvärde.

Det går förstås att räkna mer eller mindre exakt istället och titta på grafer istället för att förhålla sig till ett nummer, men det blir snabbt bökigt om parameterantalet är stort. 

Okej, tack så mycket.

Svara Avbryt
Close