Linjär avbildning

Tyvärr är det inte alltid så lätt att uttrycka vektorer som linjärkombinationer av andra vektorer. I detta fall blir det:

$T($$\vec{v}$$)$$=4\vec{u}+6\vec{v}$

$T($$\vec{w}$$)$$=16\vec{u}+24\vec{v}$

Har man svårt att hitta rätt linjärkombination kan man alltid skapa ett ekvationssystem. Om vi tar transformationen av $\vec{v}$ som exempel:

$a\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2a-b+c\\a-2c\\b+c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$

vilket kan lösas med Gausseliminering så att man får $a=4$, $b=6$ och $c=0$.

Ja men precis, det hittar jag också: (0,0,0), (4,6,0),(16,24,0).

Men hur kan det vara rätt?

Vi börjar med tre oberoende vektorer som undergå en linjär transformation, och vi får en noll vektor och två som blir multipel av varandra?

Det är inget konstigt med att två linjärt oberoende vektorer blir linjärt beroende efter transformationen eftersom determinanten är noll i detta fall.

Oberoendet bevaras endast efter transformationen om determinanten för transformationsmatrisen är nollskild.

Aha...

This explains that.

I faciten dem skriver det som två olika linjära kombinationer, trots att vektorer är multipel av varandra (???)(chockchockchock)

https://www.tntor.se/workboard/SF1624/Linjära%20avbildningar/Avbildningsmatris%20i%20olika%20baser/Uppgifter/2430

dajamanté skrev:

Aha...

This explains that.

I faciten dem skriver det som två olika linjära kombinationer, trots att vektorer är multipel av varandra (???)(chockchockchock)

https://www.tntor.se/workboard/SF1624/Linjära%20avbildningar/Avbildningsmatris%20i%20olika%20baser/Uppgifter/2430

 Den där länken funkar tyvärr inte för mig. Kan du lägga upp en bild istället?

Absolut:

Jag ser att dem använder en annan basvektor (1,0,0) men dem har samma resultat (1,2,3). Som också är en multipel av (8,16,24) och (2,4,6)

Om man väljer en annan vektor $\overrightarrow{w}$ får man en annan transformerad vektor. Inte svårare än så.

Men bör eftersom dem är multipel av varandra... $8\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 24\end{array}\right)$, borde jag inte få något multipel i avbildningen? Enligt

T(ax) = aT(x) ... eller hur dem gör det nu.

dajamanté skrev:

Men bör eftersom dem är multipel av varandra... $8\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 24\end{array}\right)$, borde jag inte få något multipel i avbildningen? Enligt

T(ax) = aT(x) ... eller hur dem gör det nu.

Nja, baserna är ju olika, så något sådant samband finns inte (om jag förstår dig rätt).

Om du undrar varför $\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}^T$ dyker upp överallt kan det hjälpa att kika på transformationsmatrisen:

$\begin{bmatrix}1&-2&3\\2&-4&6\\3&-6&9\end{bmatrix}$

Delrummet V kan skrivas

    $\displaystyle V=\{x\in\mathbb{R}^3:x=su+tv\ , \quad s\in\mathbb{R}\ , t\in\mathbb{R}\}$

där kolonnvektorerna $u=(1,-1,0)^{T}$ och $v=(0,1,2)^{T}$. Detta framställer $V$ som det linjära höljet av vektorerna $u$ och $v$,

    $V = span(u,v).$

Den linjära avbildningen $T$ representeras av matrisen

    $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&-2&3\\2&-4&6\\3&-6&9\end{pmatrix}$

och om vektorerna $Au$ och $Av$ kan skrivas som linjärkombinationer av $u$ och $v$ så följer det att $T(x)\in V$ när $x\in V$.

@Albiki: detta är för fråga b) eller? När vi ska visa att alla avbildningar $T\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$ ligger i $V$ om $x$ ligger i V?

Varför räcker det att visa att $\stackrel{\rightharpoonup }{u}, \stackrel{\rightharpoonup }{v}$ ligger i $V$?

dajamanté skrev:

@Albiki: detta är för fråga b) eller? När vi ska visa att alla avbildningar $T\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$ ligger i $V$ om $x$ ligger i V?

Varför räcker det att visa att $\stackrel{\rightharpoonup }{u}, \stackrel{\rightharpoonup }{v}$ ligger i $V$?

 Alla $\stackrel{\to}{x}\in V$ är linjärkombinationer av $\stackrel{\to}{u}$ och $\stackrel{\to}{v}$, $\stackrel{\to}{x}=s\stackrel{\to}{u}+t\stackrel{\to}{v}$. Egenskaperna för en linjär avbildning ger då:

$T(\stackrel{\to}{x})=T(s\stackrel{\to}{u}+t\stackrel{\to}{v})=sT(\stackrel{\to}{u})+tT(\stackrel{\to}{v})$

Om $T(\stackrel{\to}{u})$ och $T(\stackrel{\to}{v})$ är linjärkombinationer av $\stackrel{\to}{u}$ och $\stackrel{\to}{v}$ blir alltså $T(\stackrel{\to}{x})$ också en linjärkombination av $\stackrel{\to}{u}$ och $\stackrel{\to}{v}$. Då gäller att $T(\stackrel{\to}{x})\in V$ för alla $\stackrel{\to}{x}\in V$.

Tackar💯