Linjär avbildning

Låt F vara en linjär avbildning i rummet sådan att v1 och v2 avbildas på sig själva och att v3 avbildas på nollvektorn. v1 = (1; 6; 6), v2 = (-1; 7; 5) och v3 är ortogonal mot båden v1 och v2 Bestäm avbildningsmatrisen F?

Hej!

Låt de tre vektorerna $e_1$ , $e_2$ och $e_3$ vara standardbasen i rummet $\mathbf{R}^3$ . Avbildningsmatrisen till den linjära avbildningen $F$ är en $3\times 3$ matris $A_{F}$ vars kolonner är vektorerna $F(e_1)$ , $F(e_2)$ och $F(e_3)$ .

De tre givna vektorerna uttrycks i standardbasen.

$v_1 = 1e_1 + 6e_2 + 6e_3$ och $v_2 = (-1)e_1+7e_2+5e_3.$

Den tredje vektorn ska vara ortogonal mot $v_1$ och $v_2$ ; den vektoriella produkten

$v_3 = v_1 \times v_2 = -12e_1-13e_2+13e_3$ har denna egenskap.

Den linjära avbildningen kopplar ihop dessa vektorer med följande vektorer.

$F(v_1) = F(e_1) + 6F(e_2) + 6F(e_3)$ och $F(v_2) = -F(e_1) + 7F(e_2) + 5F(e_3)$

samt

$F(v_3) = -12F(e_1) - 13F(e_2) + 13F(e_3)$ .

Du vet att $F(v_1) = v_1$ och $F(v_2) = v_2$ samt $F(v_3) = 0$ , vilket ger dig ett ekvationssystem med vilket de tre vektorerna $F(e_1)$ och $F(e_2)$ samt $F(e_3)$ kan bestämmas.

Albiki

Ekvationssystemet blir då

e1+6e2+6e3 = 0

-e1+7e2+5e3 = 0

-e12-13e2+13e3 = 0

Svara