Linjär avbildning

Hej,

 i vår litteratur gör vi definitionen:

"En linjär avbildning mellan två vektorrum V och W över samma kropp K är en funktion T: V->W som uppfyller T(au+bv) = aT(u)+bT(V)."

Mot bakgrund av det undrar jag om jag tolkar följande rätt:

Exempel 1:

V är ett vektorrum innehållandes alla reella funktioner, f,  som är definierade, deriverbara och med kontinuerliga derivator på [a,b].

W är ett vektorrum med alla funktioner som är kontinuerliga på [a,b]

Transformationen D tar f i V och omvandlar det till f'.

Då är D:V->W en linjär tranformation då D(f+g) = D(f) + D(g) och D(cf) = cD(f)?

Exempel 2:

Samma vektorrum V och W men nu är den linjära transformationen D istället den transformationen som tar f(x) till (f(x))^2

då gäller ju inte D(f+g) = D(f)+D(g) och inte heller D(cf)+cD(f)?

(Exempel 2 har jag tänkt fram själv då jag gärna vill ha ett konkret exempel på en transformation som inte är linjär)

Vänligen,