Linjär avbildning

Det här tycker jag beskriver många saker supertydligt.

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

Du kan använda Rodrigues rotationsformel.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula

Den säger att

R($\overrightarrow{x}$) = $\overrightarrow{x}+\sin \left(\alpha \right)\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{x}+(1-\cos (\alpha \left)\right)\overrightarrow{k}\times (\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{x})$.

Här är $\alpha$ rotationsvinkeln och $\overrightarrow{k}=\frac{{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]}^T}{\sqrt{3}}$.

Om du så önskar, kan du använda den formeln för att beräkna standardmatrisen till R. Som vanligt behöver man räkna ut hur R påverkar vektorerna i standardbasen för att få fram kolumnerna i matrisen.

När det gäller (b) så kan man med fördel utnyttja triangelolikheten.

$\left|L\left(\overrightarrow{x}\right)\right|=\left|R\left(\overrightarrow{x}\right)-2\overrightarrow{x}\right|⩾\left|\left|R\left(\overrightarrow{x}\right)\right|-2\left|\overrightarrow{x}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{x}\right|-2\left|\overrightarrow{x}\right|\right|=\left|\overrightarrow{x}\right|$, dvs

$\left|L\left(\overrightarrow{x}\right)\right|⩾\left|\overrightarrow{x}\right|$. Således har ekvationen $L\left(\overrightarrow{x}\right) = 0$ bara lösningen $\overrightarrow{x}=0$. Eller hur? Med det i bagaget löser man enkelt resten av uppgiften.

1. bilda en HoN bas med 1 1 1 som z-axel. Bestäm koordinat matrisen för den basen.

2. rotera det nya koordinat systemet med vinkeln angiven, mha vanlig 2-d rotation. (sett från 1 1 1)

3. transformera tillbaka det roterade koordinatsystemet tillbaka till ursprung koordinaterna med inversen av steg 1.