Linjär avbildning

Jag antar att det är frågan om ortogonal projektion på linjen.

Jag antar det

Om vi har $\overrightarrow{u}$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$, så ges projektionen av avbildningen $\overrightarrow{x}\mapsto \frac{\overrightarrow{x}\bullet \overrightarrow{u}}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}\overrightarrow{u}$. Känns den igen?

För att bestämma matrisen så kan du titta på hur avbildningen ovan avbildar vektorerna i standardbasen. Bilderna till vektorerna i standardbasen utgör matrisens kolumner.

Ett annat sätt är att skriva om avbildningen som

$\overrightarrow{x}\mapsto \frac{\overrightarrow{x}\bullet \overrightarrow{u}}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{u}{\overrightarrow{u}}^T}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}\overrightarrow{x}$. Övertyga dig om att du förstår detta.

Vi kan då direkt identifiera matrisen som

$\frac{\overrightarrow{u}{\overrightarrow{u}}^T}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right]$ = $\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right]$.

Jag förstår inte riktigt. Hängde med på den första raden. Men det du skrev här förstår jag inte alls.

Ett annat sätt är att skriva om avbildningen som

$\overrightarrow{x}\mapsto \frac{\overrightarrow{x}\bullet \overrightarrow{u}}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{u}{\overrightarrow{u}}^T}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}\overrightarrow{x}$. Övertyga dig om att du förstår detta.

Vi kan då direkt identifiera matrisen som

$\frac{\overrightarrow{u}{\overrightarrow{u}}^T}{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right]$ = $\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right]$.

$\displaystyle \frac{1}{|\vec{u}|^2}\vec{u}(\vec{x}\cdot \vec{u})\sim\frac{u}{|u|^2}\u(x^Tu)=\frac{1}{|u|^2}u(u^Tx)=\frac{1}{|u|^2}uu^Tx=Ax$

Där den något underliga notationen ska illustrera

$\vec{x}$ den geometriska vektorn x

$x$ 3x1 matrisen av x

$x^T$ 1x3 matrisen av x, transponatet av x

$|u|$ L2-normen av $u$

Tanke är alltså att direkt finna matrisen för den linjära avbildningen:

$A=\frac{1}{|u|^2}uu^T$

Men du kan också använda projektionsformeln för att projicera basvektorer i sedvanlig ordning (vilket kanske känns tryggare)

Okej, men då hänger jag med!