24 svar
130 visningar
lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018

Linjär avbildning

Linjära avbildningen F:R3->R3 defineras av F(1,0,1)=(1,2,3) , F(1,1,1)=(2,1,0) , F(0,1,1)=(1,-1,1).a) Bestäm F:s avbildningsmatris i standardbasen.b) Bevisa att du har rätt genom att använda din nyss beräknade avbildningsmatris till att räkna utett av de ovan givna värdena för F.

-

Jag vet inte riktigt hur jag ska lösa den men jag har gjort såhär: 101111011xyz=1232101-11, x=F(e1) , y=F(e2), z=F(e3)Fastnar när jag ska lösa den:x1+x3=e1+2e2+3e3y1+y2+y3=2e1+e2    z2+z3=e1-e2+e3

Tacksam för hjälp!

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

Avbildningen är linjär. Du vet t.ex F(1,1,1) och F(1,0,1). Då har du att

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1).

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

Avbildningen är linjär. Du vet t.ex F(1,1,1) och F(1,0,1). Då har du att

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1).

 aha så gäller du att F(1,1,1)-F(0,1,1)=F(1,0,0)? Eller?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

För en linjär avbildning F gäller det alltid att

F(x + y) = F(x) + F(y)

där x och y är två godtyckliga vektorer. 

I exemplet jag tog är x = (0,1,0) och y = (1,0,1), så x + y = (1,1,1).

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

För en linjär avbildning F gäller det alltid att

F(x + y) = F(x) + F(y)

där x och y är två godtyckliga vektorer. 

I exemplet jag tog är x = (0,1,0) och y = (1,0,1), så x + y = (1,1,1).

 Så jag kan göra så för att ta fram e1, e2 och e3?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018
  1. Notationen är lite oklar. Är inte

e1 = (1,0,0)

e2 = (0,1,0)

e3 = (0,0,1)

d.v.s basvektorerna i standardbasen?

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:
  1. Notationen är lite oklar. Är inte

e1 = (1,0,0)

e2 = (0,1,0)

e3 = (0,0,1)

d.v.s basvektorerna i standardbasen?

jo, är lite förvirrad

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

Jag tog fram F(0,1,0), d.v.s F(e2).

Är du med på att det blir att F(0,1,0) = (1,-1,-3)?

Ta fram F(1,0,0) och F(0,0,1) på liknande sätt. Sedan kan avbildningens matris konstrueras.

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

Jag tog fram F(0,1,0), d.v.s F(e2).

Är du med på att det blir att F(0,1,0) = (1,-1,-3)?

Ta fram F(1,0,0) och F(0,0,1) på liknande sätt. Sedan kan avbildningens matris konstrueras.

 Hur gör du när du övergår till (1,-1,-3)?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1) = (2,1,0) - (1,2,3) = (1,-1,-3)

Jag har använt linjäritet och två av de tre givna avbildningarna.

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1) = (2,1,0) - (1,2,3) = (1,-1,-3)

Jag har använt linjäritet och två av de tre givna avbildningarna.

 okej, varför går det att ta skillnaden mellan två linjära avbildningar för att få fram e1?

Och spelar det någon roll mellan vilka jag tar? tex F(0,1,1)-F(1,1,1)=(1,-1,1)-(2,1,0)=(-1,-2,1)?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018

Du har att

(0,1,0) = (1,1,1) - (1,0,1)

Då är 

F(0,1,0) = F((1,1,1) - (1,0,1))

Eftersom F här är linjär gäller det att

F((1,1,1) - F(1,0,1)) =  F(1,1,1) - F(1,0,1)

så alltså

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1)

 

Möjligen skulle jag för tydlighets skull ha skrivit vektorerna som

[0,1,0]

och avbildningarna som

F([0,1,0])

etc.

EDIT: skrivfel ändrat

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

Du har att

(0,1,0) = (1,1,1) - (1,0,1)

Då är 

F(0,1,0) = F((1,1,1) - F(1,0,1))

Eftersom F här är linjär gäller det att

F((1,1,1) - F(1,0,1)) =  F(1,1,1) - F(1,0,1)

så alltså

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1)

 

Möjligen skulle jag för tydlighets skull ha skrivit vektorerna som

[0,1,0]

och avbildningarna som

F([0,1,0])

etc.

 Då tror jag att jag hänger med på det. Gör jag rätt då jag gör: F(0,1,1)-F(1,1,1)=(1,-1,1)-(2,1,0) och F(1,0,1)-F(0,1,1)=(1,2,3)-(1,-1,1)?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

Det verkar inte fel, men är inte vad du vill få fram.

[1,0,0] = [1,1,1] - [0,1,1]

Du vet avbildningarna av båda vektorerna i HL.

[0,0,1] = [0,1,1] - [0,1,0]

Du vet avbildningen av den ena vektorn i HL och den andra avbildningen räknade vi ut.

lamayo 1742
Postad: 9 aug 2018
Dr. G skrev:

Det verkar inte fel, men är inte vad du vill få fram.

[1,0,0] = [1,1,1] - [0,1,1]

Du vet avbildningarna av båda vektorerna i HL.

[0,0,1] = [0,1,1] - [0,1,0]

Du vet avbildningen av den ena vektorn i HL och den andra avbildningen räknade vi ut.

 Varför går det att man använder (0,1,0) när man tar fram (0,0,1)?

Dr. G 3520
Postad: 9 aug 2018

För att

F([0,0,1]) =F([0,1,1]) - F([0,1,0])

Här råkar vi veta vad F([0,1,1]) är, då det är givet i uppgiften. F([0,1,0]) har vi tidigare räknat ut. Allt i HL är känt, så F([0,0,1]) trillar ut.

Ett annat exempel:

Om vi istället hade känt till F([2,2,1]) och F([1,1,0]) så hade vi använt att F([0,0,1]) = F([2,2,1]) - 2*F([1,1,0]), eftersom 2*F([1,1,0]) = F([2,2,0]).

I den här uppgiften vet vi hur tre linjärt oberoende vektorer i R3 avbildas. Då är avbildningen helt känd. Man kan via en linjärkombination av de kända avbildningarna få fram avbildningarna av basvektorerna, vilket jag har försökt visa här. 

lamayo 1742
Postad: 12 aug 2018
Dr. G skrev:

För att

F([0,0,1]) =F([0,1,1]) - F([0,1,0])

Här råkar vi veta vad F([0,1,1]) är, då det är givet i uppgiften. F([0,1,0]) har vi tidigare räknat ut. Allt i HL är känt, så F([0,0,1]) trillar ut.

Ett annat exempel:

Om vi istället hade känt till F([2,2,1]) och F([1,1,0]) så hade vi använt att F([0,0,1]) = F([2,2,1]) - 2*F([1,1,0]), eftersom 2*F([1,1,0]) = F([2,2,0]).

I den här uppgiften vet vi hur tre linjärt oberoende vektorer i R3 avbildas. Då är avbildningen helt känd. Man kan via en linjärkombination av de kända avbildningarna få fram avbildningarna av basvektorerna, vilket jag har försökt visa här. 

 Hur vet jag vad F(0,1,0) är efter avbildningen?

Dr. G 3520
Postad: 12 aug 2018
Dr. G skrev:

Du har att

(0,1,0) = (1,1,1) - (1,0,1)

Då är 

F(0,1,0) = F((1,1,1) - (1,0,1))

Eftersom F här är linjär gäller det att

F((1,1,1) - F(1,0,1)) =  F(1,1,1) - F(1,0,1)

så alltså

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1)

Och för just den här linjära avbildningen så visste vi att 

F(1,1,1) = (2,1,0)

F(1,0,1) = (1,2,3)

så alltså 

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1) = (2,1,0) - (1,2,3) = (1,-1,-3)

lamayo 1742
Postad: 12 aug 2018 Redigerad: 12 aug 2018
Dr. G skrev:
Dr. G skrev:

Du har att

(0,1,0) = (1,1,1) - (1,0,1)

Då är 

F(0,1,0) = F((1,1,1) - (1,0,1))

Eftersom F här är linjär gäller det att

F((1,1,1) - F(1,0,1)) =  F(1,1,1) - F(1,0,1)

så alltså

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1)

Och för just den här linjära avbildningen så visste vi att 

F(1,1,1) = (2,1,0)

F(1,0,1) = (1,2,3)

så alltså 

F(0,1,0) = F(1,1,1) - F(1,0,1) = (2,1,0) - (1,2,3) = (1,-1,-3)

Okej, så då har jag alla? (1,2,-1),(1,-1,-3),(0,0,4)? 

Albiki 2911
Postad: 12 aug 2018 Redigerad: 12 aug 2018

Hej!

Standardbasen i rummet utgörs av de tre vektorerna e1=(1,0,0)e_{1}=(1,0,0), e2=(0,1,0)e_2=(0,1,0) och e3=(0,0,1)e_3=(0,0,1).

Du får veta följande:

    F(e1+e3)=e1+2e2+3e3F(e1+e2+e3)=2e1+e2F(e2+e3)=e1-e2+e3\displaystyle\begin{matrix}F(e_1+e_3) &=& e_{1}+2e_{2}+3e_{3}\\F(e_1+e_2+e_3)&=&2e_1+e_2\\F(e_2+e_3)&=&e_1-e_2+e_3\end{matrix}

Dr. G 3520
Postad: 12 aug 2018

Yes!

F([1,0,0]) = F([1,1,1]) - F([0,1,1]) =  [2,1,0] - [1,-1,1] = [1,2,-1] 

F([0,0,1]) = F([0,1,1]) - F([0,1,0]) = [1,-1,1] - [1,-1,-3] = [0,0,4]

Avbildningens matris är då kolonnvektorerna

F([1,0,0]), F([0,1,0]), F([0,0,1]) 

efter varandra.

Testa att det är rätt genom att avbilda de givna vektorerna och se att avbildningarna stämmer.

Albiki 2911
Postad: 12 aug 2018 Redigerad: 12 aug 2018

Eftersom FF är en linjär avbildning så kan du utföra elementära radoperationer i det linjära vektor-ekvationssystemet.

Subtrahera Rad 1 från Rad 2 för att få

    F(e2)=2e1+e2-(e1+2e2+3e3)=e1-e2-3e3.\displaystyle F(e_2) = 2e_1+e_2-(e_1+2e_2+3e_3)=e_1-e_2-3e_3.

Subtrahera Rad 3 från Rad 2 för att få 

    F(e1)=2e1+e2-(e1-e2+e3)=e1+2e2-e3.F(e_1) = 2e_1+e_2-(e_1-e_2+e_3)=e_1+2e_2-e_3.

Tillsammans med Rad 1 ger detta

    $$\displaystyle F(e_3) = e_1+2e_2+3e_3-F(e_1) = e_1+2e_2+3e_3-(e_1+2e_2-e_3) = 4e_3$$.

Albiki 2911
Postad: 12 aug 2018 Redigerad: 12 aug 2018

Avbildningens matris i standardbasen är därför lika med 

F(e1)F(e2)F(e3)=1102-10-1-34\displaystyle\begin{pmatrix}F(e_1)&F(e_2)&F(e_3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&0\\-1&-3&4\end{pmatrix}

Albiki 2911
Postad: 12 aug 2018

Vektorn F(e1+e3)F(e_1+e_3) är lika med matrisprodukten

    1102-10-1-34101=1+0+02+0+0-1+0+4=123\displaystyle\begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&0\\-1&-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0+0\\2+0+0\\-1+0+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.

lamayo 1742
Postad: 12 aug 2018

Okej, tack verkar stämma! Går det att göra på ett till sätt genom att lösa den här matrisekvationen och få ut avbildningsmatrisen?

Svara Avbryt
Close