Linjär avbildning från rummet Pm av polynom till rummet R^n

Dimensionssatsen säger att dimensionen av domänen $\mathbf{P}^m$ är summan av dimensionerna av nollrummet $N(f)$ och och värderummet $V(f)$, för $f:\mathbf{P}^m\to \mathbf{R}^n$.

I ditt exempel antar du att $\text{dim}(\mathbf{P}^m)>n$, så det är ingen motsägelse att $N(f)+V(f)>n$.

Gustor skrev:

Dimensionssatsen säger att dimensionen av domänen $\mathbf{P}^m$ är summan av dimensionerna av nollrummet $N(f)$ och och värderummet $V(f)$, för $f:\mathbf{P}^m\to \mathbf{R}^n$.

I ditt exempel antar du att $\text{dim}(\mathbf{P}^m)>n$, så det är ingen motsägelse att $N(f)+V(f)>n$.

Hej, tack för svar! Hinner inte tänka ut var jag går vilse ännu men återkommer gärna imorn efter lite fundering!

Gustor skrev:

Dimensionssatsen säger att dimensionen av domänen $\mathbf{P}^m$ är summan av dimensionerna av nollrummet $N(f)$ och och värderummet $V(f)$, för $f:\mathbf{P}^m\to \mathbf{R}^n$.

I ditt exempel antar du att $\text{dim}(\mathbf{P}^m)>n$, så det är ingen motsägelse att $N(f)+V(f)>n$.

Hej igen,

Jag tror jag förvirrades av vad som avgör dimensionen av P_m. Jag tänkte att antalet element som tas från P_m och avbildas på Rⁿ avgjorde dimensionen, och om då nolldimensionen blir större men antalet element som avbildas i Rⁿ är detsamma så motsäger det dimensionssatsen.

Kommer värderummet för P_m->Rⁿ alltid vara => n, eftersom man kan välja hur många punkter t_n som helst för att fylla en vektor i Rⁿ? Och om dimP>n så är det för dimensionen av nollrummet ökar? 

Eller avgörs dimensionen av det största antalet kombinationer av godtyckliga punkter t som kan avbildas i Rⁿ med ett polynom från P_m? Så tex om m = 2 kan man hitta ett polynom med nollställen så åolynomet uppfyller max vilken kombination av värden i två punkter t som helst, så dimP_m = 2? Tänker ifall det är det de menar med sista meningen i exempel 17?

Är lite förvirrad hehe

Dimensionen av $\mathbf{P}_m$ har inget med den linjära avbildningen att göra. Du kan själv verifiera att $\{1,x,x^2,\dots,x^m\}$ är en bas och att $\text{dim}(\mathbf{P}_m) =m+1$.

Kommer värderummet för Pm->Rn alltid vara => n, eftersom man kan välja hur många punkter tn som helst för att fylla en vektor i Rn? Och om dimP>n så är det för dimensionen av nollrummet ökar?

Nej, om t.ex. $m=0$ är $\text{dim}(V(f)) = 1$. Värderummet kan dock aldrig ha större dimension än $\mathbf{R}^n$, eftersom $V(f) \subseteq \mathbf{R}^n$ är ett delrum.

Om $m\geq n$ kan vi från exempel 17 dra slutsatsen att $V(f) =\mathbf{R}^n$ och således enligt dimensionssatsen att $N(f)$ har dimension $\text{dim}(\mathbf{P}_m)-\text{dim}(V(f)) =m+1-n$.

Eller avgörs dimensionen av det största antalet kombinationer av godtyckliga punkter t som kan avbildas i Rn med ett polynom från Pm? Så tex om m = 2 kan man hitta ett polynom med nollställen så åolynomet uppfyller max vilken kombination av värden i två punkter t som helst, så dimPm = 2? Tänker ifall det är det de menar med sista meningen i exempel 17?

Osäker på vad du menar här. Rummet $\mathbf{P}_m$ består av alla polynom av grad högst $m$.

Det de menar i slutet är att om $p(x)$ och $q(x)$ är två polynom av grad högst $n-1$ sådana att $p(t_i) = a_i=q(t_i)$ för $i=1,2,\dots,n$ så är polynomet

$r(x) := p(x) - q(x)$ av grad högst $n-1$ (ty skillnaden av två polynom kan inte öka gradtalet) och lika med noll i alla punkterna $t_1,\dots,t_n$. Av faktorsatsen skulle då

$r(x) =g(x)(x-t_1)(x-t_2)\dots(x-t_n)$,

men detta är omöjligt ty $r(x)$ har grad högst $n-1$. Alltså är $r(x) =0$ den enda möjligheten, och därmed är $p(x) =q(x)$.

Vi antog att det fanns två polynom som uppfyllde villkoret, och har visat att det då följer att polynomen är ett och detsamma. Alltså är det unikt bestämt av villkoret.

Gustor skrev:

Dimensionen av $\mathbf{P}_m$ har inget med den linjära avbildningen att göra. Du kan själv verifiera att $\{1,x,x^2,\dots,x^m\}$ är en bas och att $\text{dim}(\mathbf{P}_m) =m+1$.

Kommer värderummet för Pm->Rn alltid vara => n, eftersom man kan välja hur många punkter tn som helst för att fylla en vektor i Rn? Och om dimP>n så är det för dimensionen av nollrummet ökar?

Nej, om t.ex. $m=0$ är $\text{dim}(V(f)) = 1$. Värderummet kan dock aldrig ha större dimension än $\mathbf{R}^n$, eftersom $V(f) \subseteq \mathbf{R}^n$ är ett delrum.

Om $m\geq n$ kan vi från exempel 17 dra slutsatsen att $V(f) =\mathbf{R}^n$ och således enligt dimensionssatsen att $N(f)$ har dimension $\text{dim}(\mathbf{P}_m)-\text{dim}(V(f)) =m+1-n$.

Eller avgörs dimensionen av det största antalet kombinationer av godtyckliga punkter t som kan avbildas i Rn med ett polynom från Pm? Så tex om m = 2 kan man hitta ett polynom med nollställen så åolynomet uppfyller max vilken kombination av värden i två punkter t som helst, så dimPm = 2? Tänker ifall det är det de menar med sista meningen i exempel 17?

Osäker på vad du menar här. Rummet $\mathbf{P}_m$ består av alla polynom av grad högst $m$.

Det de menar i slutet är att om $p(x)$ och $q(x)$ är två polynom av grad högst $n-1$ sådana att $p(t_i) = a_i=q(t_i)$ för $i=1,2,\dots,n$ så är polynomet

$r(x) := p(x) - q(x)$ av grad högst $n-1$ (ty skillnaden av två polynom kan inte öka gradtalet) och lika med noll i alla punkterna $t_1,\dots,t_n$. Av faktorsatsen skulle då

$r(x) =g(x)(x-t_1)(x-t_2)\dots(x-t_n)$,

men detta är omöjligt ty $r(x)$ har grad högst $n-1$. Alltså är $r(x) =0$ den enda möjligheten, och därmed är $p(x) =q(x)$.

Vi antog att det fanns två polynom som uppfyllde villkoret, och har visat att det då följer att polynomen är ett och detsamma. Alltså är det unikt bestämt av villkoret.

Då fattar jag. Tack!