Linjär avbildning villkor

Håller på med följande uppgift: Visa att avbildningen F: $R^2-> R^2$

som ges av F(x,y)=(x-y, x+y) är linjär. 

-

Jag har gjort det på två olika sätt som jag lärt mig men förstår inte riktigt varför det går att göra som man gör.

-

Villkor som ska vara uppfyllda för att det ska vara en linjär avbildning är:

1) F($\stackrel{\rightharpoonup }{x}+\stackrel{\rightharpoonup }{y}$)=$F(\stackrel{\rightharpoonup }{x)}+F(\stackrel{\rightharpoonup }{y)}$

Jag satte $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$=(x1, x2), $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$=(y1, y2)

Men det första jag undrar över 1. varför man sätter de lika med x1,x2 respektive y1,y2 och varför kan man göra det??

Då blir $$\begin{gathered} F(x1+y1, x2+y2)=(x1+y1-x2-y2, x1+y1+x2+y2) \\ F(x1+y1)+F(x2+y2)=(x1+y1,x1+y1)+(-x2-y2,x2+y2)=(x1+y1-x2-y2,x1+y1+x2+y2) \\ => VL=HL \end{gathered}$$

2) $\lambda F\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)=F(\lambda \stackrel{}{\stackrel{\rightharpoonup }{x})}$

Då blir det $$\begin{gathered} F\left(\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)=(\lambda x1+\lambda y1,\lambda x1+\lambda y1) \\ \lambda F\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)=\lambda (x1+y1,x1+y1)=(\lambda x1+\lambda y1,\lambda x1+\lambda y1) \\ => VL=HL \end{gathered}$$

Alltså är avbildningen linjär. Jag är inte säker på om jag gjort rätt men det jag undrar över i den här uträkningen är (om den är rätt) varför man sätter vektorerna x och y lika med x1,x2 respektive y1,y2? Kan man använda enbart x och y utan att sätta de lika med (x1,x2) respektive (y1,y2)?

Här är den andra uträkningen jag gjorde:

Vill visa att F($\underline{e}X)$=$\underline{e}AX$

om det uppfylls är avbildningen linjär.

F(x,y)=(x-y,x+y)=$\underline{e}\left(\begin{array}{c}x-y\\ x+y\end{array}\right)=\underline{e}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

vilket innebär att det är en linjär avbildning.

Jag funderade på varför det gick att skriva om (x-y,x+y) på vektorform med basen e, men antar att det är för att det alltid är i basen standardbasen så länge det inte står något annat?

-

Hjälp uppskattas :)