2 svar
22 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen!
lamayo 2103
Postad: 3 jun 2019 Redigerad: 3 jun 2019

Linjär avbildning villkor

Håller på med följande uppgift: Visa att avbildningen F: R2-> R2

som ges av F(x,y)=(x-y, x+y) är linjär. 

-

Jag har gjort det på två olika sätt som jag lärt mig men förstår inte riktigt varför det går att göra som man gör.

-

Villkor som ska vara uppfyllda för att det ska vara en linjär avbildning är:

1) F(x+y)=F(x)+F(y)

Jag satte x=(x1, x2), y=(y1, y2)

Men det första jag undrar över 1. varför man sätter de lika med x1,x2 respektive y1,y2 och varför kan man göra det??

Då blir F(x1+y1, x2+y2)=(x1+y1-x2-y2, x1+y1+x2+y2)F(x1+y1)+F(x2+y2)=(x1+y1,x1+y1)+(-x2-y2,x2+y2)=(x1+y1-x2-y2,x1+y1+x2+y2)=> VL=HL

2) λF(x)=F(λx)

Då blir det F(λx)=(λx1+λy1,λx1+λy1)λF(x)=λ(x1+y1,x1+y1)=(λx1+λy1,λx1+λy1)=> VL=HL

Alltså är avbildningen linjär. Jag är inte säker på om jag gjort rätt men det jag undrar över i den här uträkningen är (om den är rätt) varför man sätter vektorerna x och y lika med x1,x2 respektive y1,y2? Kan man använda enbart x och y utan att sätta de lika med (x1,x2) respektive (y1,y2)?

Här är den andra uträkningen jag gjorde:

Vill visa att F(eX)=eAX

om det uppfylls är avbildningen linjär.

F(x,y)=(x-y,x+y)=ex-yx+y=e1-111xy

vilket innebär att det är en linjär avbildning.

Jag funderade på varför det gick att skriva om (x-y,x+y) på vektorform med basen e, men antar att det är för att det alltid är i basen standardbasen så länge det inte står något annat?

-

Hjälp uppskattas :)

Dr. G 4550
Postad: 3 jun 2019

Du kan ju se x och y som komponenterna av en vektor u = (x,y) i R2. Ta en till vektor i R2, v = (x',y').

Om du kan visa att

F(u + v) = F(u) + F(v)

och att

F(a*u) = a*F(u)

där a är en skalär, så är avbildningen linjär. Det är ungefär vad du har gjort, men med lite annan notation.

lamayo 2103
Postad: 3 jun 2019
Dr. G skrev:

Du kan ju se x och y som komponenterna av en vektor u = (x,y) i R2. Ta en till vektor i R2, v = (x',y').

Om du kan visa att

F(u + v) = F(u) + F(v)

och att

F(a*u) = a*F(u)

där a är en skalär, så är avbildningen linjär. Det är ungefär vad du har gjort, men med lite annan notation.

Okej tack! men varför använder man x1,x2 och y1,y2?

Svara Avbryt
Close