Linjära avbildningar på sig själva
Hej!
Jag har några oklara punkter i en annars mycket bra kompendium:
Och lite senare på samma sida:
Jag tror att jag förstår inte riktigt vad betyder uttrycket ''avbildas på sig själv''. Och vad innebär att avbildas på noll. Hela sidan finns här:
http://webstaff.itn.liu.se/~geoba/Webb_Linjar_algebra/kap16_3.pdf
Första uppgiften verkar handla om projektion på ett plan i R3. En vektor som ligger i det planet kommer att projiceras på sig själv. En vektor som är vinkelrät mot planet avbildas på nollvektorn. Rita!
Andra uppgiften är en spegling. Vektorer i planet avbildas på sig själva och vektorer vinkelräta mot planet byter tecken.
Dr. G skrev :Första uppgiften verkar handla om projektion på ett plan i R3. En vektor som ligger i det planet kommer att projiceras på sig själv. En vektor som är vinkelrät mot planet avbildas på nollvektorn. Rita!
Hej Dr. Jag tror att jag vet inte riktigt vad avbildas ''på sig själv'' betyder.
Andra uppgiften är en spegling. Vektorer i planet avbildas på sig själva och vektorer vinkelräta mot planet byter tecken.
För att det skickas på andra sidan av planet?
Vi tar exemplet med projektion på xy-planet i R3.
Matrisen blir då
A = [1 0 0;0 1 0;0 0 0]
En vektor i xy-planet, t.ex [1 0 0]' kommer att avbildas på [1 0 0]', d.v.s på sig själv. Du har börjat gå igenom egenvektorer, så detta är en egenvektor till A med egenvärde 1.
En vektor som är normal till xy-planet, t.ex [0 0 1]', avbildas på [0 0 0]'. Vektorer normala mot xy-planet är egenvektorer till A med egenvärde 0.
z-komponenten blir här 0, x och y blir oförändrade.
Det kan kanske vara kul att veta att för projektioner gäller allmänt att
A^2 = A
Vad är den geometriska tolkningen av detta?
Jag måste testa:
. OMG. Såklart. It's true, all of it.
Egenvektor ska vi inte gå igenom, det ser ut som våra lärare har gett upp på oss.
Jag chansar att den geometriska tolkning är att vi har projicerat rummet på plan och att avbildningen är inte linjär (bijektiv?) längre?
Alltså vi har plattat vår kub mot plan och det finns inte en chans att den växer igen? (detta förklaring är mest för min skull).
