Linjära och exponentiella funktioner

I båda fallen så säger vi att det bor C personer i området från början.

a) Här säger man att antalet personer som bor i området följer modellen $y = C - kt$, där t är tiden i år och k är någon konstant. Vi vet att efter 20 år så är det C/2 personer kvar. Detta innebär alltså

$C/2 = C - 20k$

$20k = C/2$

$k = C/40$

Därför så har man modellen, $y = C - Ct/40 = C(1 - t/40)$

Efter ytterligare 15, alltså 20 + 15 = 35 år efter starten så har man

$y = C \cdot (1 - 35/40) = C/8$

Det är därför en åttondel kvar, eller 12.5% kvar av befolkningen.

b) Här säger den att modellen är $y = Ca^t$ där t är tiden i år. Vi får veta att

$C/2 = Ca^{20}$

$a = 2^{-1/20}$

Så modellen är att $y = C\cdot \left(2^{-1/20}\right)^t = C\cdot 2^{-t/20}$

Så efter 35 år så har vi

$y=C·2^{-35/20}\approx C·0.2973$

Vilket alltså säger att det är ungefär 30% kvar.

Hej

Jag skulle ej har gjort som dom i facit, vi börjar med a)

Om halv befolkningen försvinner efter 20 år så måste hela vara borta efter 40 år. Dvs den ska minska från 1 till 0 på 40 år. Den måste alltså minska med $\frac{1}{40}=2,5\%$ varje år. Efter 35 år har det minskat med $35·2,5=87,5\%$. Hur många procent finns då kvar?

b)

Om vi använder oss av

 $$\begin{gathered} y=C·a^x\Rightarrow 0,5=a^{20}\Rightarrow a=\sqrt[20]{0,5}\Rightarrow \\ y=C·{\left(\sqrt[20]{0,5}\right)}^x \end{gathered}$$

Efter 35 år finns det $y=C·{\left(\sqrt[20]{0,5}\right)}^{35}\Rightarrow \frac{C·{\left(\sqrt[20]{0,5}\right)}^{35}}{C}\approx 30\%$