Linjära transformationer

Assume that T is a linear transformation. Find the standard matrix of T.

$T : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

first rotates points through $-\frac{3\pi}{4}$ radian (clockwise) and then reflect points through the horizontal $x_1-axis$ . [Hint: $T(e_1)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ ]

_____

Först och främst så tänker jag att när vi transformerar enhetsmatrisen $e_1=(1,0)$ så får vi $T(e_1)=(cos\phi, sin\phi)$ och då $\phi=\frac{-3\pi}{4}$ så måste $T(e_1)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ men enligt ledtråden (Hint) i uppgiften så ska $x_2$ i $T(e_1)$ vara $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Är det något skrivfel eller har jag missuppfattat något?

Det du skrivit är bara den första delen i transformationen. Vad händer när du sedan reflekterar det genom x1-axeln?

Hondel skrev:
Det du skrivit är bara den första delen i transformationen. Vad händer när du sedan reflekterar det genom x1-axeln?

Jag får att $T(e_2)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Så

$A = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}]$

Tror det är rätt hittills men att jag glömt spegla kring $x_1$ axeln. Hur gör jag det?

Vad händer när du speglar e₁ och e₂ i x₁-axeln?

Du kan bestämma matrisen, som vi kan kalla B, som hör till speglingen genom att bestämma hur e₁ och e₂speglas.

Den sammanlagda matrisen fås genom matrismultiplikation BA.

PATENTERAMERA skrev:
Vad händer när du speglar e₁ och e₂ i x₁-axeln?

Du kan bestämma matrisen, som vi kan kalla B, som hör till speglingen genom att bestämma hur e₁ och e₂speglas.

Den sammanlagda matrisen fås genom matrismultiplikation BA.

Om jag speglar $e_1$ kring $x_1$ -axeln händer inget då den ligger på $x_1$ -axeln men när $e_2$ speglas så $e_2=(0,-1)$

Precis. Så hur ser matrisen B ut?

PATENTERAMERA skrev:
Precis. Så hur ser matrisen B ut?

$B = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}]$

med logiken att eftersom $e_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}]$ så är väl $T (e_{2}) = [\begin{matrix} - \sin p h i \\ - \cos p h i \end{matrix}]$ vilket gör att tecknet i $A_{22}$ borde byta till +

Med B tänkte jag den matris som beskriver speglingen i x₁-axeln.

Den matrisen blir

B = $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$ .

Matrisen för T blir då

$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} - 1 \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ - 1 \sqrt{2} & - 1 / \sqrt{2} \end{matrix}]$ = …

Svara

Visa senaste svar