Linjära transformationer och spegling

Tycker det ser bra ut, möjligtvis är jag lite otrygg med att du " sen speglar geometriskt, och på de sättet hittar vektorernas punkter."

I så här enkla fall ser man ju direkt vad det blir, men redan i tre dimensioner kan det bli lite krångligare. Öva därför också på mer tekniska lösningar så du inte sitter där på tentan och känner dig ovan vid snårigare situationer. (Och då menar jag att du delar upp operationerna i matriser och multiplicerar dem i rätt ordning)

Du kan se T som sammansättningen av två linjära transformationer R och S.

T = R$\circ$S, där S är ”shear” och R reflektionen.

Du vet att S(e₂) = e₂ - 2e₁ och S(e₁) = e₁. Matrisen M_S för S ges av

M_S = $\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$.

Vi inser vidare att R(e₁) = -e₂ och R(e₂) = -e₁. Matrisen för M_R för R ges av

M_R = $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]$.

Matrisen för M_T för T ges av

M_T = M_RM_S = $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$ =  $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan se T som sammansättningen av två linjära transformationer R och S.

T = R$\circ$S, där S är ”shear” och R reflektionen.

Du vet att S(e₂) = e₂ - 2e₁ och S(e₁) = e₁. Matrisen M_S för S ges av

M_S = $\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$.

Vi inser vidare att R(e₁) = -e₂ och R(e₂) = -e₁. Matrisen för M_R för R ges av

M_R = $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]$.

Matrisen för M_T för T ges av

M_T = M_RM_S = $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$ =  $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$.

Tack så jättemycket :) hur ska man tänka när man väljer mr*ms istället för ms*mr?

Du kan alltid studera vad som händer med en vektor $\mathbf{x}$. Om $M_1$ är matrisen för den första operationen låter du den verka från vänster:

$\mathbf{y}=M_1\mathbf{x}$ 

Nästa operation (matrismultiplikation) utför du sedan från vänster på den resulterande vektorn $\mathbf{y}$

$M_2\mathbf{y}=M_2(M_1\mathbf{x})=M_2M_1\mathbf{x}$

Alltså kan man se den sammansatta matrisprodukten $M_2M_1$, som  att man först låter $M_1$ och sedan $M_2$ verka på (multipliceras med) en godtycklig vektor $\mathbf{x}$