Linjärt beroende med parameter

Har fastnat på en uppgift i "Övningar i Linjär algebra av Sparr.

Finns det något a för vilket vektorerna (a,-2) och (1,a-1) är linjärt beroende?

Jag har först ställt upp problemet för att se om vektorerna är linjärt oberoende.

$(a,-2)x + (1,a-1)y =\hspace{0.17em}(0,0)$

Genom gausseliminering har jag kommit fram till:

$$\begin{gathered} ax + y =\hspace{0.17em}0 \\ -2x + (a-1)y =\hspace{0.17em}0 \\ \iff \\ ax + y =\hspace{0.17em}0 \\ \left(\frac{2y}{a}\right)\times (a-1)y =\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$ 

Den sista raden har faktoriserat som följande:

 

$$\begin{gathered} 2y + \left(a\right)(a-1)\left(y\right) =\hspace{0.17em}0 \\ 2y + (a^2-a)y = 0 \\ y(2 + (a^2-a) = 0 \\ y(a^2-a +2) = 0 \\ (a^2-a +2) är skiljt från noll \end{gathered}$$

 

alltså kan y inte bli = 0 vilket gör att vektorerna är linjärt beroende för alla a. 

Svaret i facit säger är nej. Det finns inget värde på a som gör vektorerna linjärt beroende. 

?