Linjärt beroende/oberoende
Hej,
Jag undrar om jag är på rätt väg vad gäller en uppgift i linjär algebra.
För vilka reella tal a är de tre vektorerna (2,0,1,3), (a,1,0,1),(6,1,1,a) linjärt oberoende?
Jag ställer upp ett ekvationssystem och får reda på att om systemet har en lösning så är a = 4.
Motivering:
2x + ay + 6z = 0
y + z = 0
x + z = 0
3x + y + az = 0
Den andra och tredje ekvationen ger x = y.
Den tredje ekvationen ger z = -x
Då får vi:
2x + ax - 6x = 0
(a-4)x = 0
(4-a)x = 0 (Från fjärde ekvationen)
a-4 = 4-a
a = 4
Svar: Då a = 4 så är vektorerna linjärt beroende.
sätt in ditt a och försök lösa systemet igen
Jag blir lite osäker på vad du säger om en lösning. Eftersom högerled är 0 så kommer det alltid finnas minst en lösning: (x,y,z)=(0,0,0). Frågan är, finns det fler lösningar, eller finns det bara denna lösning?
2x + 4y + 6z = 0
y + z = 0
x + z = 0
3x + y + 4z = 0
x = y = -z (från första och andra ekvationerna)
0 = 0
0 = 0
Så det har oändligt många lösningar här?
Men om a skulle vara nåt annat, då finns BARA lösning x = y = z = 0 och då är den linjärt oberoende.
Är det ett korrekt resonemang?
Ja det verkar vara ett korrekt resonemang. Jag har inre kollat om de andra ekvationerna går ihop så att det blir parameterlösning men de tror jag.
Det viktiga med uppgiften att förstå är att om du hittar a så att det bara finns en lösning så är de linjärt oberoende, men om det finns fler lösningar så är de linjärt beroende.
