18 svar
344 visningar
Wilar är nöjd med hjälpen
Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 14:37 Redigerad: 27 apr 2019 14:38

Linjärt beroende polynom

"Låt Pn vara det linjära rummet av polynom av grad  n. Antag att polynomen p1, p2, ... ,pn+1  Pn har nollställe i origo. Visa att {p1, p2, ... ,pn+1} är linjärt beroende." Jag antar att man ska visa att polynomen spänner upp Pn, men inte kan utgöra en bas för rummet (alltså inte kan vara linjärt oberoende). Att det spänner upp rummet förstår jag (det är n+1 st polynom), men varför kan de inte utgöra en bas? 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 15:19

Eller hm, det kanske inte är självklart att de spänner upp rummet (eftersom det inte kan finnas med någon konstant, förutom 0)? Däremot kanske den här lösningen fungerar: Antingen måste nollpolynomet finnas med i mängden eller så finns två av samma gradtal med (eftersom polynomen har nollställe i origo). Ex i P3 kan vi ha {x,2x,x2,x3}. Därmed måste mängden polynom vara linjärt beroende. Håller det resonemanget?

Micimacko 2734
Postad: 27 apr 2019 15:55 Redigerad: 27 apr 2019 15:58

Ja det stämmer, typ iaf. Flera polynom av samma gradtal kan vara oberoende, men polynom utan konstanter får en dimension lägre än hela rummet. Och du kan aldrig ha fler oberoende vektorer än dimensioner.

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 16:11 Redigerad: 27 apr 2019 16:11
Micimacko skrev:

Ja det stämmer, typ iaf. Flera polynom av samma gradtal kan vara oberoende, men polynom utan konstanter får en dimension lägre än hela rummet. Och du kan aldrig ha fler oberoende vektorer än dimensioner.

Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 16:14 Redigerad: 27 apr 2019 16:19
Matte357 skrev:
Micimacko skrev:

...

Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?

Notationen är lite kontraintuitiv men PnP_n är faktiskt ett (n + 1)-dimensionellt rum eftersom polynom med grad n kan ha upp till (n + 1) termer. Så det argumentet ensamt räcker inte.

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 16:21
SeriousCephalopod skrev:
Matte357 skrev:
Micimacko skrev:

...

Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?

Notationen är lite kontraintuitiv men PnP_n är faktiskt ett (n + 1)-dimensionellt rum eftersom polynom med grad n kan ha upp till (n + 1) termer. Så det argumentet ensamt räcker inte.

Så hur ska man då stringent visa att de är linjärt beroende?

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 16:26

 Om vi jämför {pi}\{p_i\}-basen som beskrivs med något som vi vet är en bas till PnP_n.

B={1,x,x2,...,xn-1,xn}B = \{1, x, x^2 ,..., x^{n - 1}, x^n\}

hur skiljer sig denna bas från en bas där alla polynomen har 0 som rot. I den skillnaden ligger en väg till varför {pi}\{p_i\} inte kan vara en bas. 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 16:34 Redigerad: 27 apr 2019 16:35
SeriousCephalopod skrev:

 Om vi jämför {pi}\{p_i\}-basen som beskrivs med något som vi vet är en bas till PnP_n.

B={1,x,x2,...,xn-1,xn}B = \{1, x, x^2 ,..., x^{n - 1}, x^n\}

hur skiljer sig denna bas från en bas där alla polynomen har 0 som rot. I den skillnaden ligger en väg till varför {pi}\{p_i\} inte kan vara en bas. 

Ja, vi har ju uppenbarligen ingen konstant. Och alltså ett element mindre? Det visar ju isf att de inte kan spänna upp Pn (man kan inte nå alla polynom i Pn utan någon konstant), men detta var ju inte uppgiften.

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 16:39 Redigerad: 27 apr 2019 16:46

Okej så inget polynom med en nollskilld konstantterm kan skrivas som en linjär kombination av {pi}\{p_i\} eftersom alla dessa saknar konstanttermer. 

Det betyder att{pi}\{p_i\} inte spänner upp hela PnP_n utan endast ett underrum av polynom som inte har konstanttermer. edit: nu kanske du kan blanda in dimension igen.  

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 16:46
SeriousCephalopod skrev:

Okej så inget polynom med en nollskilld konstantterm kan skrivas som en linjär kombination av {pi}\{p_i\} eftersom alla dessa saknar konstanttermer. 

Det betyder att{pi}\{p_i\} inte spänner upp hela PnP_n utan endast ett underrum av polynom som inte har konstanttermer. 

Ja, det är jag med på. Men hur drar med från det slutsatsen att mängden är linjärt beroende? Är det inte som jag skrev tidigare; att vi måste ha två polynom av samma gradtal i mängden. Och två polynom av samma gradtal (utan konstantterm) är linjärt beroende. Och därmed är hela mängden linjärt beroende?

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 16:53

Att en mängd innehåller två polynom med samma grad tycker jag inte per se utesluter att det är en bas.

{1+x,1-x}\{1 + x, 1 - x\} är en fullgod bas i P1P_1 trots att båda polynom har samma grad.

Ditt tidigare dimensionsargument som du försökte tillämpa på PnP_n var inte helt fel ute men det var lite i förtid. Om du nu tänker på att vi nu vet att {pi}\{p_i\} spänner upp ett delrum till PnP_n och inte hela rummet så kan vi börja fundera på dimensionen hos detta delrum och vad den implicerar. 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 17:01 Redigerad: 27 apr 2019 17:02
SeriousCephalopod skrev:

Att en mängd innehåller två polynom med samma grad tycker jag inte per se utesluter att det är en bas.

{1+x,1-x}\{1 + x, 1 - x\} är en fullgod bas i P1P_1 trots att båda polynom har samma grad.

Ditt tidigare dimensionsargument som du försökte tillämpa på PnP_n var inte helt fel ute men det var lite i förtid. Om du nu tänker på att vi nu vet att {pi}\{p_i\} spänner upp ett delrum till PnP_n och inte hela rummet så kan vi börja fundera på dimensionen hos detta delrum och vad den implicerar. 

Fast nu är det ju givet att vi inte har konstanter (nollställe i origio)? Om vi är i P3 kan vi ex ha mängden av 3+1=4 st polynom {x,2x,x2,x3}vilka alla har ett nollställe i origo. Eftersom x och 2x är linjärt beroende är hela mängden linjärt beroende. 

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 17:07 Redigerad: 27 apr 2019 17:07

Ja, det stämmer men du behöver lite precision i ditt språk om du ska göra ett allmännt påstående och inte bara ett exempel. 

Om jag tog

{x+2x2-2x3,3x-2x2+x3,-5x+5x3,3x2-x3}\{x + 2x^2 - 2x^3, 3x - 2x^2 + x^3, -5x + 5x^3, 3x^2 - x^3\}

för P3P_3 skulle de mycket riktigt vara så att de är linjärt beroende men det är inget jag tycker att man kan se från att det finns två(4) som har samma grad. 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 17:18
SeriousCephalopod skrev:

Ja, det stämmer men du behöver lite precision i ditt språk om du ska göra ett allmännt påstående och inte bara ett exempel. 

Om jag tog

{x+2x2-2x3,3x-2x2+x3,-5x+5x3,3x2-x3}\{x + 2x^2 - 2x^3, 3x - 2x^2 + x^3, -5x + 5x^3, 3x^2 - x^3\}

för P3P_3 skulle de mycket riktigt vara så att de är linjärt beroende men det är inget jag tycker att man kan se från att det finns två(4) som har samma grad. 

Ah, jag förstår. Men jag om kör på dimensionsresonemanget istället, gäller det då att den givna mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende? (Som jag skrev tidigare i tråden) 

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 17:20

Ja, för iochmed att underrummet har lägre dimension då vet vi garanterat att dess dimension är n\leq n och därmed, som du säger, att n+1 vektorer måste vara linjärt beroende. 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 17:49
SeriousCephalopod skrev:

Ja, för iochmed att underrummet har lägre dimension då vet vi garanterat att dess dimension är n\leq n och därmed, som du säger, att n+1 vektorer måste vara linjärt beroende. 

Ah, ok. Men implicerar verkligen att mängden är linjärt beroende i underrummet att mängden är linjärt beroende i Pn? Vi kan väl tex ha 3 vektorer i R2 som (alltid) är linjärt beroende, men dessa behöver väl inte vara linjärt beroende i R3 eller R4 för det?

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 17:51 Redigerad: 27 apr 2019 17:52

Kan du ge ett exempel på scenariot du tänker dig? edit: med R^2 och R^3 tillexempel. 

Wilar 191
Postad: 27 apr 2019 18:14
SeriousCephalopod skrev:

Kan du ge ett exempel på scenariot du tänker dig? edit: med R^2 och R^3 tillexempel. 

Hm, jag kanske snurrade till det lite här... Men det känns inte helt uppenbart att linjärt beroende polynom i ett underrum per se också måste vara linjärt beroende i "överrrummet".

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 apr 2019 18:25

Det är bra att utvärdera sina antaganden.

Linjärt beroende mängd betyder ju att en av vektorerna i mängden ska kunna skrivas som en linjär kombination av de övriga vektorerna i mängden. Det är ju ingenting som beror av i vilket underrum de ligger; kan en skrivas som en linjär kombinaiton av de övriga så är det sant oberoende av det omgivande rummet. 

Sedan kan dimensionen hos rummet eller underrummet användas som ett verktyg för att avgöra sakers beroenden.

Svara Avbryt
Close