Linjärt ekvationssystem i första kvadranten
Hej!
Jag har försökt lösa den här uppgiften. Hur man ska fortsätta?
Man har ekvationssystemet
2y+x=6 (1) Linje 1
och
y-kx=2 (2) Linje 2
Frågan är: För vilka värden på k har ekvationssystemet en lösning i första kvadranten?.
Det luriga är att man inte får använda digitala verktyg som miniräknare eller GeoGebra för att lösa uppgiften
Jag löste ut y ut (1) och ur (2).
Då blev ekvationssystemet:
y=3-0,5x (3)
och
y=2+kx (4)
Jag vet att ett ekvationssystem har exakt en lösning om linjerna (1) och (2) skär varandra i en punkt. Där är k1≠k2 och m1 och m2 kan vara vilka tal som helst.
k1=0,5
m1=3
m2=2
I skärningspunkten är y1=y2>0 och x1=x2>0 för det är i första kvadranten. Jag kallar punkten för (A,B).
I den punkten är y värdet B=3-0,5*A=2+k*A och B är >0
Jag har då:
2+k*A>0 => k*A>-2 => k>-2/A
och
3-0,5A>0 => 3>0,5A => 6>A
Hur ska jag gå vidare för att lösa ut k?
Jag har k>-2/A och 6>A
De olikheterna måste väl gå att kombinera tillsammans till en enda olikhet som ger svaret att blir k större än något eller att k blir mindre än något? Men hur?
Tack på förhand!
Jag har inte detaljstuderat din lösning utan bara spånar på egen hand. Kanske får du inspiration.
(1) y = –x/2 + 3
Vi ser att linjen skär axlarna i (0, 3) och (6, 0). Så ingen skärningspunkt (x, y) har y > 3 eller x > 6.
(2) y = kx +2
Denna linje skär y-axeln i (0, 2). Vi kan vrida linjen så att den går genom (0, 3), i så fall är k oändligt och skärningspunkten nästan i första kvadranten. Om vi minskar k så vrids linjen medurs tills den når (6, 0). Interceptformen för linjens ekvation ger
x/6+y/2 = 1 som ger k = –1/3
Mitt svar är alltså k > –1/3.
Nästan i första kvadranten? vad betyder det?
Vad är Interceptform för något?
Hur räknar man från x/6+y/2 = 1 till k = –1/3? Jag förstår inte.
Jag vet inte om axeln räknas till kvadranten. Därav ”nästan”.
Interceptformen: Om en linje skär axlarna i (a, 0) och (0, b) så är linjens ekvation
x/a + y/b = 1
Bekväm ibland. Men här behövs den egentligen inte, vi ser att minsta k-värde fås om linjen går genom (6, 0) och (0, 2), så minsta k-värde är (0–2)/(6–0) = –1/3.
Tack så mycket! Jag förstår :)
Men kan man lösa ut k ur de här två olikheterna k>-2/A och 6>A också? Hur?
-2/6 är ju -1/3. Så det borde gå med olikheterna, eller?
Sorry blev störd, återkommer
Tack så mycket! inga problem :)
Det blev litet jobbigare…
linje (1) ger 0 < A < 6
Skärningspunktens x-koordinat får jag till 2/(2k+1). Det ger
0 < 2/(2k+1) som ger att k > –1/2 (3)
och
2/(2k+1) < 6 som ger k < –1/2 eller k > –1/3 (4)
Både (3) och (4) ska vara uppfyllda, dvs k > –1/3
Jag tror mer på min lösningsidé, interceptform eller ej :)
Tack!! Hur fick du fram 2/(2k+1) ? Delta x är 2k+1 ? Hur kom du på det?
Jag satte kx+2 = –x/2 + 3 och löste ut x (dvs A)
Dvs jag satt y:na lika i dina ekv (3) och (4).
Tack för hjälpen!
Jag kan inte räkna ut 0 < 2/(2k+1) till k > –1/2 och inte räkna ut 2/(2k+1) < 6 till k < –1/2 eller k > –1/3 utan GeoGebra men svaret stämmer :)
Som vanligt löser jag uppgiften genom att rita. Den övre linjen är den kända, den undre är när skärningspunkten nätt och jämnt är i första kvadranten på gränsen till fjärde, för att hamna på gränsen mot andra kvadranten skulle k vara oändligt.. 
Tack!
Jag förstår :)
Ja, (delta y)/(delta x) kan bli så nära -2/6=-1/3 som möljigt men inte mindre för att vara kvar i 1a kvadranten.
