Liten nattkluring #2

Låt $n = 2m-1$ för positivt heltal $m$ och substituera $y = x-m$. Då får vi att

$\displaystyle I = \int_1^{2m-1}\prod_{k=1}^{2m-1}\left(x-k\right)dx = \int_{1-m}^{m-1} \prod_{k=1}^{2m-1}\left(y+m-k\right)dy$

Vi ser att integralen är över ett symmetriskt intervall runt $0$, alltså över $[-a,a]$, ($a = m-1$)
och integrandet är funktionen $f(x) = (x+m-1)\cdots (x+1)(x)(x-1)\cdots (x-m+1)$. Denna funktion är udda eftersom varje faktor på formen $(x-b)$ kan paras ihop med faktorn $(x+b)$ för att bilda en jämn funktion, $x^2 - b^2$. Detta gäller för alla $b = 1, 2,\dots m-1$ och den enda som "saknar ett par" är $x$-faktorn.

Vi kan då skriva $f$ som en produkt av jämna funktioner tillsammans med en udda funktion, därmed är $f$ udda och då $f$ integreras på ett symmetriskt intervall blir integralens värde 0.