Liten nattkluring #3

Supersnyggt!

Nämnaren är misstänksamt nära $(1-x)^3 = 1-3x+3x^2 - x^3$. Vi får 

$\displaystyle f\left(x\right) = \frac{x^3}{x^3 +1-3x+3x^2 - x^3} = \frac{x^3}{x^3 + (1-x)^3}.$

Notera att $f(1-x)$ har samma nämnare och då är 

$\displaystyle f\left(1-x\right) + f\left(x\right) = \frac{x^3 + (1-x)^3}{x^3 + (1-x)^3} = 1.$

Låt

$\displaystyle S = \sum_{k=1}^{32} f\left(\frac k{33}\right).$

Då denna summa är ändlig kan vi "byta riktning" och summera åt andra hållet. Vi gör detta genom att substituera $n = 33 - k$. Då får vi

$\displaystyle S = \sum_{n=1}^{32} f\left( \frac{33-n}{33}\right) = \sum_{n=1}^{32} f\left(1-\frac{n}{33}\right).$

Detta ger då att 

$\displaystyle S = \frac 12 \sum_{k=1}^{32}\left(f\left( \frac{k}{33}\right) + f\left(1-\frac{k}{33}\right)\right) = \frac 12 \sum_{k=1}^{32}1 = 16.$

PS: För slutet blev jag påmind om den kända historien om en lösning till $1 + \dots + n$ (sagt att Gauss kom på detta som mycket ung?) där man dubblerar summan och byter riktning för att summera ihop alla termer till $n+1$. Roligt sätt att tänka!