Logaritm regel

De flesta logaritm regler förstår jag, exempelvis $\ln \left(a\right) + \ln \left(b\right) = \ln \left(ab\right)$, även exempelvis ${10}^{x=15 \leftrightarrow lg\left({10}^x\right)=lg\left(15\right) \iff x lg\left(10\right) = lg\left(15\right) \iff x =lg\left(15\right)}$( blev lite fel då allt efter = 15 ser ut att vara en potens, ursäkta för det)

Men det finns också en sådan regel som förekommer i särskilda uppgifter, nämligen $a={10}^{lg\left(a\right)} och a=e^{\ln \left(a\right)}$, sådan strategi kan användas vid exempelvis $\ln (8-x) = 0 \iff e^{\ln (8-x) }= e^0 \iff 8-x=1... \iff x=7$

Jag kan dock inte förstå varför exempelvis $a={10}^{lg\left(a\right)}$, det kanske är självklart men jag ser inte hur eller varför. Det är väsentligt att jag kommer ihåg denna "formel" för uppkommande prov och tror att om jag förstår den, må jag kunna komma ihåg och även använda den. Så om någon har ett pedagogiskt sätt att förklara så skulle jag uppskatta det!