Logaritmer med olika baser (mafy)

Man kan väl resonera på lite olika sätt. Men ett sätt är att höja upp $x^2$ i båda leden.

$(x^2)^{\log_x(3 - x)} = (x^2)^{\log_{x^2}(8 - 3x - x^2)}$

$(x^{\log_x(3 - x)})^2 = 8 - 3x - x^2$

$(3 - x)^2 = 8 - 3x - x^2$

Ett annat sätt är att använda att

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Notera här att $x = 1$ inte kan vara en lösning eftersom basen i en logaritm inte kan vara 1, den måste också vara positiv, så icke positiva lösningar fungerar inte heller.

Hej!

Steg 1. För vilka tal $x$ är ekvationen meningsfull? Eftersom man inte kan beräkna logaritmen för icke-positiva tal måste $(3-x)>0$ och $(8-3x-x^2)>0.$ Eftersom basen till en logaritm alltid är större än $1$ måste $x>1$ och $x^2>1.$ Du ser att talet $x$ måste uppfylla $1<x<3$ och $(x+1.5)^2<8-2.25$, det vill säga $1<x<\sqrt{5.75}-1.5$.

Steg 2. Skriv ekvationen på gemensam bas, vilket i detta fall är basen $x.$ Använd sambandet mellan baser som Stokastisk gett dig. Det låter dig skriva

    $\log_{x^2}y = \frac{\log_x y}{\log_x x^2} = 0.5\log_x y$.

Ekvationen blir

    $\log_x(3-x) = 0.5\log_x(8-3x-x^2)$

vilken är samma sak som andragradsekvationen 

    $(3-x)^2 = 8-3x-x^2.$

Albiki