logaritmer med x som bas

Hej! 

Välj en bas ($a$) som är ett positivt tal. Ett tal ($y$) är lika med $a$-logaritmen av ett tal ($x$) om följande gäller:

    $\displaystyle y = \log_a(x) \quad \Leftrightarrow \quad x = a^y.$

Välj en annan bas, $b$ och skriv det positiva talet $a$ som

    $\displaystyle a = b^{\log_b(a)}.$

Sätt in detta tal i sambandet mellan $x$ och $y.$

    $\displaystyle x = b^{y\cdot \log_b(a)}.$

Detta betyder att $\log_b(x) = y\cdot \log_b(a),$ men $y$ är ju lika med $\log_a(x)$ så det gäller alltså att

    $\displaystyle \log_b(x) = \log_a(x) \cdot \log_b(a).$

Med hjälp av detta samband kan du uttrycka

    $\displaystyle \log_x(3-x) = \log_{x^2}(3-x)\cdot \log_x(x^2).$

Notera sedan att $\log_x(x^2) = 2.$

Albiki

Hej!

Ekvationen som du vill lösa är alltså andragradsekvationen

    $\displaystyle (3-x)^2 = 8-3x-x^2.$

Eftersom man inte kan beräkna logaritm för negativa tal (eller för noll) så måste det gälla att $x < 3$ och att $8-3x-x^2 >0.$ Sedan måste logaritm-baser vara positiva tal, vilket betyder att $x>0$ och $x^2>0$ måste gälla. 

Albiki

Tack!

Behöver nog repetera logaritmer lite :) Just förhållandet att tex e^ln8 = 8 glömmer jag ofta bort.

Jag får x till att vara 1 eller 0,5 och om jag testar dessa x så ger båda att VL = HL men facit säger att rätt svar är 0,5 även fast frågan vill ha den största reella lösningen. Vad är fel?

$$\begin{gathered} (3-x{)}^2 = 8 - 3x - x^2 \\ 9 - 6\mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2 = 8 - 3\mathrm{x} - {\mathrm{x}}^2 \\ 2{\mathrm{x}}^2 - 3\mathrm{x} + 1 = 0 \\ {\mathrm{x}}^2 - 1.5\mathrm{x} + 0.5 = 0 \\ \mathrm{x} =\hspace{0.17em}0.75 \pm 0.25 \\ {\mathrm{x}}_1 = 0,5 {\mathrm{x}}_2 = 1 \end{gathered}$$

1-logaritmer finns inte.

Ahhh, såklart.