Logistisk tillväxtmodell

Det är samma sak eftersom k är en godtycklig konstant. Men jag håller med om att det första uttrycket är tydligare.

Henrik Eriksson skrev :

Det är samma sak eftersom k är en godtycklig konstant. Men jag håller med om att det första uttrycket är tydligare.

Ok så menar du då att t.ex. i första uttrycket att k = $\frac{k}{M}$  så att $\frac{k}{M}*y\hspace{0.17em}*\left(M-y\right)$

om jag förenklar och förlänger bråket med M i första uttrycket. 

Det är lite konstigt 

Hej!

Det som gör att differentialekvationen

    $y'(x) = f(y(x))$

beskriver logistisk tillväxt är att funktionen $f(y)$ är ett andragradspolynom,

    $f(y) = ay(M-y)$ där $0<y<M$

eller

    $f(y) = by(1-y)$ där $0<y<1.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Det som gör att differentialekvationen

    $y'(x) = f(y(x))$

beskriver logistisk tillväxt är att funktionen $f(y)$ är ett andragradspolynom,

    $f(y) = ay(M-y)$ där $0<y<M$

eller

    $f(y) = by(1-y)$ där $0<y<1.$

Albiki

Jag satt och tänkte på en sak angående koefficienterna. I det första fallet är koefficienten a..Då f(y)=ay(M-y) och i det andra b..Men det är ju fortfarande olika koefficienter..Vad är skillnaden på dessa koefficienter? Är koefficienten b tillväxthastigheten i fall 2 och koefficienten a bara en proportionalitetskonstant? Tänker mig om det är exakt samma funktioner..

Hej!

Modellen

    $\displaystyle p'(x) = bp(x)(1-p(x))$

beskriver den procentuella tillväxten hos $y$ (när den jämförs med den övre begränsningen $M$); $p(x) = \frac{y(x)}{M}$.

Modellen

    $\displaystyle y'(x) = ay(x)(M-y(x))$

beskriver den faktiska tillväxten hos $y$.

Om $y'(x) = ay(x)(M-y(x))$ och $p(x) = y(x)/M$ så är $p'(x) = y'(x)/M$ och

    $\displaystyle p'(x) = \frac{1}{M}ay(x)(M-y(x)) = \frac{1}{M}\cdot a Mp(x)(M-Mp(x)) = Ma \cdot p(x)(1-p(x)) = bp(x)(1-p(x)).$

Kopplingen mellan koefficienterna $a$ och $b$ är alltså

    $b = aM$.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Modellen

    $\displaystyle p'(x) = bp(x)(1-p(x))$

beskriver den procentuella tillväxten hos $y$ (när den jämförs med den övre begränsningen $M$); $p(x) = \frac{y(x)}{M}$.

Modellen

    $\displaystyle y'(x) = ay(x)(M-y(x))$

beskriver den faktiska tillväxten hos $y$.

Om $y'(x) = ay(x)(M-y(x))$ och $p(x) = y(x)/M$ så är $p'(x) = y'(x)/M$ och

    $\displaystyle p'(x) = \frac{1}{M}ay(x)(M-y(x)) = \frac{1}{M}\cdot a Mp(x)(M-Mp(x)) = Ma \cdot p(x)(1-p(x)) = bp(x)(1-p(x)).$

Kopplingen mellan koefficienterna $a$ och $b$ är alltså

    $b = aM$.

Albiki

Tack!