Lokala extrempunkter
Låt f(x) vara en andragradsfunktion definierad för a ≤ x ≤ b. Visa att det finns ett tal c sådant att a < c < b och f′(c) = 0 om f(a) = f(b).
Om derivatan av c = 0 betyder det att det är en extrempunkt. Eftersom det är en andragradsekvation finns det bara en extrempunkt och eftersom funktionen är definierad mellan a och b så är c en lokal extrempunkt/högsta/minsta värde och a och b är funktionens ”ändvärden”. Om f(a) = f(b) betyder det att funktionen är symmetrisk mellan a och b och därför bör c ligga mitt emellan dom värdena
Om du vill visa detta algebraiskt så sätter du upp f(x) = x^2+px+q. Eftersom du vet att f(a) = f(b) kan du då sätta upp:
a^2 + pa + q = b^2 + pb + q
ur detta kan du lösa ut ett uttryck för p
Du vet sedan att f'(x) = 2x +p och därmed att f'(a) = 2a+p och f'(b) = 2b + p
Om du nu sätter in uttrycket för p i dessa två kommer du fram till att f'(a) = -f'(b). eftersom dessa två har olika tecken måste det alltså finnas en punkt mellan dessa där f'(x) = 0 då f(x) är en kontinuerlig funktion.
