Lokala max/min och asymptoter

Angående de sneda asymptoterna: Du har delat upp funktionen i olika fall. När gäller dessa fall (för vilka x)? Vilket fall gäller när x närmar sig + oändligheten? När x närmar sig - oändligheten? Du har x låtit gå mot +/- oändligheten i båda gränsvärden, men de är bara ett alternativ per fall som är intressant.

Jag försökte mig på att räkna ut det som du räknat ut i fall I. Jag kom fram till att andraderivatan av f ges av:

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{12}{{\left(x-2\right)}^2}$

dvs. nämnaren höjs upp med 2, ej 3. Detta bör göra nämnaren positiv om den är definierad, vilket även gör andraderivatan positiv varför båda punkterna bör vara minpunkter.

Sedan skall man även ha i åtanke att fall I endast är aktuellt om x-4>0. Det är endast sant om x>4, vilket bara stämmer för $x=2+\sqrt{6}$, så det finns bara en verklig extrempunkt från fall I.

Jag har inte gjort uträkningarna på fall II(jag rekommenderar att du gör det själv), men om vi utgår från att du gjort samma miss där så att nämnaren även där fått fel exponent får vi samma scenario igen: andraderivatan är om den är definierad alltid positiv. I sådant fall blir det återigen endast lokala minimum, förutsatt att x-värdena stämmer in på kriterierna för fall II.

För fall II gäller det alltså att x-4<0, dvs. om x<4. Detta stämmer för båda de funna x-värdena.

Hondel skrev:

Angående de sneda asymptoterna: Du har delat upp funktionen i olika fall. När gäller dessa fall (för vilka x)? Vilket fall gäller när x närmar sig + oändligheten? När x närmar sig - oändligheten? Du har x låtit gå mot +/- oändligheten i båda gränsvärden, men de är bara ett alternativ per fall som är intressant.

Du har nog rätt i att man ska låta de gå mot antingen + oändligheten eller - oändligheten men det är skillnaden på dessa som jag har svårt att förstå. Jag trodde att de gick mot samma sneda asymptot oavsett om x gick mot + eller - oändligheten?

Rita!

lund skrev:

Hondel skrev:

Angående de sneda asymptoterna: Du har delat upp funktionen i olika fall. När gäller dessa fall (för vilka x)? Vilket fall gäller när x närmar sig + oändligheten? När x närmar sig - oändligheten? Du har x låtit gå mot +/- oändligheten i båda gränsvärden, men de är bara ett alternativ per fall som är intressant.

Du har nog rätt i att man ska låta de gå mot antingen + oändligheten eller - oändligheten men det är skillnaden på dessa som jag har svårt att förstå. Jag trodde att de gick mot samma sneda asymptot oavsett om x gick mot + eller - oändligheten?

Inte nödvändigtvis. Du har ju två olika fall av din funktion, och det är olika fall som gäller för väldigt stora positiva x och väldigt negativa x. När x närmar sig +/- oändligheten är det alltså olika funktioner som gäller, och det finns ju inget som säger att de skulle ha samma asymptoter?

Se till att du förstår vilket fall som du ska låta gå mot + oändligheten och vilket som du ska låta gå mot - oändligheten och varför :)

Bedinsis skrev:

Jag försökte mig på att räkna ut det som du räknat ut i fall I. Jag kom fram till att andraderivatan av f ges av:

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{12}{{\left(x-2\right)}^2}$

dvs. nämnaren höjs upp med 2, ej 3. Detta bör göra nämnaren positiv om den är definierad, vilket även gör andraderivatan positiv varför båda punkterna bör vara minpunkter.

Sedan skall man även ha i åtanke att fall I endast är aktuellt om x-4>0. Det är endast sant om x>4, vilket bara stämmer för $x=2+\sqrt{6}$, så det finns bara en verklig extrempunkt från fall I.

Jag har inte gjort uträkningarna på fall II(jag rekommenderar att du gör det själv), men om vi utgår från att du gjort samma miss där så att nämnaren även där fått fel exponent får vi samma scenario igen: andraderivatan är om den är definierad alltid positiv. I sådant fall blir det återigen endast lokala minimum, förutsatt att x-värdena stämmer in på kriterierna för fall II.

För fall II gäller det alltså att x-4<0, dvs. om x<4. Detta stämmer för båda de funna x-värdena.

Bra poäng!

Du bör även studera speciellt vad som händer så x = 4, eftersom funktionen inte är deriverbar i denna punkt.

Tack alla för eran hjälp, jag tar in det ni skriver till mig!

Jag vill också uppdatera er med att jag har löst uppgiften, tack vare er, och det jag hade missat var precis att kontrollera så att svaren höll sig inom sina intervall samt att ta hänsyn till singulära punkter.

Jag har fortfarande aningen svårt för när något går mot + respektive - oändligheten, men jag ska minnas det du beskrev Hondel och läsa på mer om detta tills att det sitter.