Lös differentialekvation genom substitution

Hej!

Uppgift:

Lös för $x > 0, y > 0$ differentialekvationen

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = y$

genom att införa

$\{\begin{cases} x = u \\ y = \frac{u}{v} \end{cases}$

Tips: Uttryck först u och v i x och y.

Min lösning:

$\{\begin{cases} u = x \\ v = \frac{x}{y} \end{cases}, u > 0, v > 0$

$\{\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{v}{u} \\ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{v^{2}}{u} (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} \end{matrix}) \end{cases}$

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = u \frac{\partial f}{\partial u} + v \frac{\partial f}{\partial v} + v \frac{\partial f}{\partial v} - v \frac{\partial f}{\partial u} = (\begin{matrix} u + v \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial u} \end{matrix}) + 2 v \frac{\partial f}{\partial v} = 2 v \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{u}{v}$

$2 v \frac{\partial f}{\partial v} - \frac{u}{v} = 0$

Men sen vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare med det hela.

Jag är inte med på hur du uttrycker t.ex df/dx i df/du och df/dv.

Kan du skriva ut uttrycken för du/dx, du/dy, dv/dx och dv/dy så kanske det klarnar.

Det är df/dy som är fel. Tänk på att du/dy=0.

Jag ser nu att jag har gjort en del misstag i mina uträkningar, ska kolla på det igen.

Hej!

Med $u = x$ och $v = x/y$ blir de partiella derivatorna

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{1}{y}$

och

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\partial f}{\partial v} \frac{x}{y^2}$ .

Den givna partiella differentialekvationen i variablerna $x$ och $y$ transformeras till följande partiella differentialekvation i variablerna $u$ och $v$ .

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}= \frac{1}{v}.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar