19 svar
111 visningar
Supporter 176
Postad: 7 dec 2018 Redigerad: 7 dec 2018

lös differentialekvationen

lös differentialekvationen: x4+7y'-4x3y=0

 

y' + ay = 0

y=Ce-ax

 

Jag förstår inte hur jag ska ta mig vidare?  

AlvinB Online 1905
Postad: 7 dec 2018

Tänk separabel differentialekvation. Hur skulle du göra då?

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Tänk separabel differentialekvation. Hur skulle du göra då?

 Har aldrig lärt mig den, kollade några videos på youtube och läste om det nyss i boken men jag fattar att du ska separera x och y, är det rätt då att börja såhär y'-y=-x4+7+4x3  ?

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Tänk separabel differentialekvation. Hur skulle du göra då?

 är detta den homogena typen?

AlvinB Online 1905
Postad: 7 dec 2018

Ekvationen kan skrivas som:

(x4+7)y'=4x3y(x^4+7)y'=4x^3y

Dividera och multiplicera nu så att du har yy-termer i VL och xx-termer i HL. Då kan du lösa det som en separabel differentialekvation (integrera båda led med avseende på sin variabel).

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Ekvationen kan skrivas som:

(x4+7)y'=4x3y(x^4+7)y'=4x^3y

Dividera och multiplicera nu så att du har yy-termer i VL och xx-termer i HL. Då kan du lösa det som en separabel differentialekvation (integrera båda led med avseende på sin variabel).

 y'y=4x3x4+7 fick jag det till. När jag integrerar får jag det till y'y=x44+Cx55+C+7x , Hur blir det när jag ska integrera VL? Gör jag ens rätt nu?

AlvinB Online 1905
Postad: 7 dec 2018

Det första är rätt, men när du integrerar blir det pannkaka. Du skall integrera:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\dfrac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Tänk på att du inte får integrera hur som helst i nämnare och täljare, du måste ta hänsyn till hela uttrycket.

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Det första är rätt, men när du integrerar blir det pannkaka. Du skall integrera:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\dfrac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Tänk på att du inte får integrera hur som helst i nämnare och täljare, du måste ta hänsyn till hela uttrycket.

 Okej, måste nog öva mer på detta. Läste att man kan lösa detta med kvadrerings regeln (kan den lite mer än denna metoden) men måste säkert kunna denna metod också

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Det första är rätt, men när du integrerar blir det pannkaka. Du skall integrera:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\dfrac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Tänk på att du inte får integrera hur som helst i nämnare och täljare, du måste ta hänsyn till hela uttrycket.

 Hur fick du y' = 1 ?

Supporter 176
Postad: 7 dec 2018 Redigerad: 7 dec 2018
AlvinB skrev:

Det första är rätt, men när du integrerar blir det pannkaka. Du skall integrera:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\dfrac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Tänk på att du inte får integrera hur som helst i nämnare och täljare, du måste ta hänsyn till hela uttrycket.

4x3x4+7  u=x4+7du=4x3dxdu4x3=dx4x3udu4x34udu4=1udu=1(u)du=(x4+7)+4x3dx + CJag är medveten om att det blev fel någonstans, men vart är felet?

AlvinB Online 1905
Postad: 7 dec 2018

y'y' är inte ett, det är bara att den "absorberas" för att man ska få integrera med avseende på yy.

Du kan läsa på lite mer om hur man gör med separabla differentialekvationer här:

https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

Allting i din uträkning är rätt fram till

1u du\displaystyle\int\frac{1}{u}\ du

Detta blir inte uu, utan ln|u|\ln|u|.

albibla 19
Postad: 8 dec 2018

Hej!

Din differentialekvation kan skrivas 

    y'(x)+f(x)y(x)=0y'(x) + f(x)y(x) = 0

där jag infört beteckningen f(x)=-4x37+x4f(x) = -\frac{4x^3}{7+x^4}.

Multiplicera ekvationen med den så kallade integrerande faktorn eF(x)e^{F(x)} för att få 

    eF(x)y'(x)+eF(x)f(x)y(x)=0(eF(x)y(x))'=0eF(x)y(x)=Ce^{F(x)} y'(x) + e^{F(x)}f(x)y(x) = 0 \iff (e^{F(x)}y(x))' = 0 \iff e^{F(x)} y(x) = C

där funktionen f(x)f(x) är derivata till funktionen F(x)F(x) och CC är en konstant;

    F(x)=f(x)dxF(x) = \int f(x) dx.

albibla 19
Postad: 8 dec 2018

Din differentialekvations lösningar är tydligen y(x)=Ce-F(x)y(x) = Ce^{-F(x)} där det återstår för dig att bestämma funktionen F(x)F(x).

Supporter 176
Postad: 8 dec 2018 Redigerad: 8 dec 2018

Jag gjorde såhär och fick nästan fram rätt svar, vet inte varför jag får ''+'' istället för ''*''.

 

y'y=4x3x4+7u= x4+7du = 4x3dxdu4x3=dx4x3x4+7=duu=du*u= u+C = (x4+7)+CNär integralen tas bort tas även du bort. C sätts alltid till i slutet.

Facit är: C(x4+7)

Trinity 135
Postad: 8 dec 2018 Redigerad: 8 dec 2018

AlvinB Online 1905
Postad: 8 dec 2018
Trinity skrev:

Det har smugit sig in ett litet slarvfel här. Det skall inte vara någon y'y' i täljaren på VL-integralen. Det borde istället vara:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\frac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Dock räknar du som att det står så här, så svaret blir korrekt.

Trinity 135
Postad: 8 dec 2018
AlvinB skrev:
Trinity skrev:

Det har smugit sig in ett litet slarvfel här. Det skall inte vara någon y'y' i täljaren på VL-integralen. Det borde istället vara:

1y dy=4x3x4+7 dx\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\frac{4x^3}{x^4+7}\ dx

Dock räknar du som att det står så här, så svaret blir korrekt.

Jag hänger inte riktigt med här.  D[ln|y|] = y'/y 

AlvinB Online 1905
Postad: 8 dec 2018

Om du deriverar med avseende på xx, ja, men nu står det ju dydy. För att få byta från dxdx till dydy måste y'y' försvinna eftersom dy=y' dxdy=y'\ dx.

Trinity 135
Postad: 8 dec 2018 Redigerad: 8 dec 2018

Någon borde införa 'radera post' på denna site. Inte bra att fel och slarv ligger kvar.

Smaragdalena Online 18750 – Moderator
Postad: 8 dec 2018 Redigerad: 8 dec 2018

Någon borde införa 'radera post' på denna site.

Det finns - vi kallas moderatorer. Dessutom kan du redigera dina egna poster inom 2 timmar.

EDIT: Du verkar ha lagt in beräkningarns som en bild, och det kan jag inte fixa åt dig.

Svara Avbryt
Close