Lös differentialekvationen

Eftersom $e^{-2x}$ redan finns i den homegena lösningen, så behöver man lägga till faktorn $x$ i den partikulära lösningens ansats, d.v.s. $y_P = a\,x\,e^{-2x}$. Notera att derivatan behöver beräknas enligt produktregeln.

När $y_P$ och $y_P^\prime$ sätts in i den inhomogena differentialekvationen, så får man att $a=1$.

Att den är homogen  betyder väl att y’+2y=0? Det är det läraren har sagt. Kan du förklara varför e^-2x är homogent och förstår fortfarande inte varför jag ska lägga till ett x. 

Insåg nu också att jag skrev fel längst upp, ska stå y’+2y=e^-2x

Du har själv kommit fram till att $y_H = C e^{-2x}$, där $C$ är en godtycklig konstant. Denna funktion löser alltså den homogena ekvationen $y^\prime + 2y = 0$.

Om man väljer $y_P = a e^{-2x}$, där $a$ är en okänd konstant som ska bestämmas via insättning i differentialekvationen, så har man valt $y_P$ på exakt samma form som $y_H$ (d.v.s. en konstant gånger exponentialfunktionen med -2x i exponenten). Ett sådant val av $y_P$ ger alltså noll i högerledet av differentialekvationen. Man är dock intresserad av något nollskilt i högerledet, så ett sådant $y_P$ kommer ej funka.

Jag vet inte riktigt hur man presenterar teorin i Matte 5 på gymnasiet för att motivera varför det funkar bra med extra faktorn $x$ i ansatsen för $y_p$.

Ett möjligt sätt att motivera detta är att man tänker sig att $a$ inte är en konstant, utan en (obekant) funktion $A(x)$. Man gör alltså ansatsen $y_P(x) = A(x)\cdot e^{-2x}$. Detta deriveras enligt produktregeln, så $y_P^\prime(x) = A^\prime(x) e^{-2x} - 2 A(x) e^{-2x}$. Sätter man in dessa i den inhomogena ekvationen och förenklar, så får man att $A^\prime(x) = 1$, d.v.s. $A(x) = x$ (och eventuellt +C där C är konstant)

Det finns också en alternativ lösningsmetod, där man använder sig av integrerande faktor och på så sätt slipper man uppdelning i $y_H$ och $y_P$. Denna lösningsmetod hör hemma snarare i Matematik specialisering än Matte 5, men ni har kanske gått igenom den metoden.

I differentialekvationen $y^\prime + 2y = e^{-2x}$ får man $IF=e^{2x}$, så om hela ekvationen multipliceras med den, så får man $(e^{2x} y(x))^\prime = 1$. Därefter integreras båda leden och $y(x)$ löses ut.