6 svar
74 visningar
Felicia_K 3
Postad: 19 maj 2017

Lös differentialekvationssystemet med laplacetransformer

Hej!


Har kört fast på följande diff.ekvationsystem. Vet ej hur jag ska fortsätta. Tack för hjälpen!  

 

x'(t) + y(t) = t                                            x(0)=y(0) = 0
- y'(t) + x(t) = 0

 

sX(t) - x(0) + Y(t) = 1/s^2
-sY(t) - y(0) + X(t) = 0

sX(t) + Y(t) = 1/s^2
-sY(t) + X(t) = 0

 

Vet ej hur jag ska fortsätta


Mvh Felicia

Guggle 310
Postad: 19 maj 2017 Redigerad: 19 maj 2017

Ekvation två ger dig ett förhållande mellan X(S) och Y(S), substituera och erhåll:

 

s2Y(s)+Y(s)=1s2 s^2Y(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2}

Slutligen, för att undvika faltning i tidsplanet kan det vara bra att lägga märke till att

1s2(s2+1)=1s2-1s2+1 \frac{1}{s^2(s^2+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1}

Felicia_K 3
Postad: 19 maj 2017

Tack Guggle men du får urästa mig, jag förstår inte vad jag ska substituera.

s2Y (s)    är om jag förstår rätt en laplacetransform för en andraderivata. Hur fick du fram denna?

Mvh

Felicia

Guggle 310
Postad: 19 maj 2017 Redigerad: 19 maj 2017

Du har själv kommit fram till att

-sY(s)+X(s)=0 -sY(s)+X(s)=0

Om du lägger lägger till sY(s) på båda sidor får du:

X(s)=sY(s) X(s)=sY(s)

Detta uttryck för X(s) kan du sedan sätta in i din första ekvation:

sX(s)+Y(s)=1s2s2Y(s)+Y(s)=1s2 sX(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2} \Rightarrow s^2Y(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2}

(Och ja, det är en andraderivata!)

Felicia_K 3
Postad: 19 maj 2017

Nu ser jag sambandet, tack så mycket :) 

Albiki 1025
Postad: 19 maj 2017

Hej!

Om du Laplacetransformerar systemet av differentialekvationer i tidsplanet ( t t ) så får du ett motsvarande system av algebraiska ekvationer i frekvensplanet ( s s ). 

    sX(s)+Y(s)=1s2-sY(s)+X(s)=0 \begin{matrix}sX(s) + Y(s) &= \frac{1}{s^2}\\-sY(s) + X(s) &=0\end{matrix}

Albiki

Albiki 1025
Postad: 19 maj 2017

Hej! 

Multiplicera den första ekvationen med s2 s^2 och den andra ekvationen med s s för att få det ekvivalenta systemet 

    s3X(s)+s2Y(s)=1sX(s)-s2Y(s)=0. \begin{matrix}s^3X(s) + s^2Y(s) &= 1\\sX(s) - s^2Y(s) &= 0\end{matrix}.

Addera de två ekvationerna för att få den nya ekvationen

    s(1+s2)X(s)=1. \displaystyle s(1+s^2)X(s) = 1.  

Med hjälp av den ursprungliga ekvationen 2 kan du dra slutsatsen att

    s2(1+s2)Y(s)=1. \displaystyle s^2(1+s^2)Y(s) = 1.

En partialbråksuppdelning av det algebraiska uttrycket för X(s) X(s) och en partialbråksuppdelning för Y(s) Y(s) gör att du kan använda en tabell över Laplacetransformer för att finna funktionerna x(t) x(t) och y(t) y(t) som löser de två differentialekvationerna. 

Albiki

Svara Avbryt
Close